Номер 9.22, страница 52 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.22, страница 52.

Условие.

9.22. Поршневым воздушным насосом с емкостью $ \Delta V $ откачивают воздух из сосуда емкостью $ V $. Начальное давление равно атмосферному $ p_a $. Каково давление $ p_N $ в сосуде после $ N $ качаний насоса? Температуру можно считать неизменной.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Емкость сосуда: $\text{V}$

Емкость насоса: $\Delta V$

Начальное давление: $p_0 = p_a$

Число качаний насоса: $\text{N}$

Процесс изотермический: $T = \text{const}$

Найти:

Давление в сосуде после $\text{N}$ качаний: $p_N$

Решение:

Поскольку по условию задачи температура воздуха остается неизменной ($T = \text{const}$), процесс откачки является изотермическим. Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта, согласно которому для данной массы газа произведение давления на объем остается постоянным: $p \cdot V = \text{const}$.

Рассмотрим процесс откачки по шагам (качаниям насоса).

Перед началом откачки (0 качаний):

Давление в сосуде равно начальному атмосферному давлению: $p_0 = p_a$. Объем газа равен объему сосуда $\text{V}$.

После первого качания (N=1):

При первом ходе поршня насос соединяется с сосудом. Воздух, занимавший объем $\text{V}$ при давлении $p_0$, расширяется и занимает общий объем, равный сумме объемов сосуда и насоса, то есть $V + \Delta V$. Обозначим давление в системе после этого расширения как $p_1$.

Согласно закону Бойля-Мариотта для начального состояния (до расширения) и конечного (после расширения):

$p_0 \cdot V = p_1 \cdot (V + \Delta V)$

Отсюда находим давление $p_1$:

$p_1 = p_0 \frac{V}{V + \Delta V} = p_a \frac{V}{V + \Delta V}$

Затем порция воздуха из объема насоса $\Delta V$ удаляется, и в сосуде остается воздух объемом $\text{V}$ при давлении $p_1$.

После второго качания (N=2):

Перед вторым качанием давление в сосуде равно $p_1$. При втором ходе поршня воздух из сосуда снова расширяется до объема $V + \Delta V$. Давление в системе становится $p_2$.

Применяя закон Бойля-Мариотта для этого шага:

$p_1 \cdot V = p_2 \cdot (V + \Delta V)$

Выражаем $p_2$:

$p_2 = p_1 \frac{V}{V + \Delta V}$

Подставляем найденное ранее выражение для $p_1$:

$p_2 = \left( p_a \frac{V}{V + \Delta V} \right) \frac{V}{V + \Delta V} = p_a \left( \frac{V}{V + \Delta V} \right)^2$

После N качаний:

Анализируя полученные результаты, можно заметить закономерность. Давление в сосуде после каждого качания уменьшается в $\frac{V}{V + \Delta V}$ раз по сравнению с предыдущим. Таким образом, мы имеем дело с геометрической прогрессией. После $\text{N}$ качаний давление $p_N$ будет равно:

$p_N = p_{N-1} \frac{V}{V + \Delta V} = \dots = p_0 \left( \frac{V}{V + \Delta V} \right)^N$

Подставляя $p_0 = p_a$, получаем итоговую формулу:

$p_N = p_a \left( \frac{V}{V + \Delta V} \right)^N$

Ответ: $p_N = p_a \left( \frac{V}{V + \Delta V} \right)^N$