Номер 9.21, страница 52 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.21, страница 52.

Условие.

9.21. Компрессор нагнетает воздух в резервуар емкостью $\text{V}$, захватывая при каждом качании объем воздуха $\Delta V$. Первоначально давление в резервуаре равно атмосферному $p_a$. Какое давление $p_N$ установится в резервуаре после $\text{N}$ качаний компрессора? Считайте, что температура воздуха при сжатии не изменяется.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Емкость резервуара: $\text{V}$
Объем воздуха, захватываемый за одно качание: $\Delta V$
Первоначальное давление в резервуаре (атмосферное): $p_a$
Число качаний компрессора: $\text{N}$
Процесс сжатия изотермический: $T = \text{const}$

Найти:

Давление в резервуаре после $\text{N}$ качаний: $p_N$

Решение:

Поскольку по условию задачи температура воздуха при сжатии не изменяется, процесс является изотермическим. Для изотермического процесса справедлив закон Бойля-Мариотта, который гласит, что для данной массы газа произведение давления на объем есть величина постоянная: $pV = \text{const}$.

Рассмотрим состояние всей массы воздуха, которая окажется в резервуаре после $\text{N}$ качаний. Эта масса состоит из двух частей:

1. Воздух, который изначально находился в резервуаре. Его объем $\text{V}$, а давление $p_a$.

2. Воздух, который нагнетается компрессором за $\text{N}$ качаний. За каждое качание компрессор захватывает объем $\Delta V$ при атмосферном давлении $p_a$. За $\text{N}$ качаний общий объем захваченного воздуха, приведенный к атмосферному давлению, составит $N\Delta V$.

Таким образом, суммарный объем всего воздуха (изначального и нагнетенного), если бы он находился под атмосферным давлением $p_a$, был бы равен:

$V_{общ} = V + N\Delta V$

После $\text{N}$ качаний вся эта масса воздуха оказывается сжатой в резервуаре объемом $\text{V}$, и его давление становится равным $p_N$.

Запишем закон Бойля-Мариотта для начального и конечного состояний этой общей массы воздуха:

$p_a \cdot V_{общ} = p_N \cdot V$

Подставим выражение для $V_{общ}$:

$p_a (V + N\Delta V) = p_N V$

Выразим из этого уравнения искомое давление $p_N$:

$p_N = \frac{p_a(V + N\Delta V)}{V}$

Разделив почленно выражение в скобках на $\text{V}$, получим окончательную формулу:

$p_N = p_a \left(\frac{V}{V} + \frac{N\Delta V}{V}\right) = p_a \left(1 + N\frac{\Delta V}{V}\right)$

Ответ: $p_N = p_a \left(1 + N\frac{\Delta V}{V}\right)$