Номер 9.15, страница 51 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.15, страница 51.

Условие.

9.15. В сосуд с ртутью опускают открытую с двух концов стеклянную трубку, оставляя над поверхностью часть трубки длиной $l = 60$ см. Затем трубку закрывают сверху и погружают еще на $a = 30$ см. Какой станет высота $\text{h}$ столба воздуха в трубке? Атмосферное давление $H = 760$ мм рт. ст.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$l = 60$ см

$a = 30$ см

$H = 760$ мм рт. ст.

$l = 0.6$ м

$a = 0.3$ м

$H = 0.76$ м рт. ст.

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение:

Рассмотрим два состояния воздуха в трубке: начальное (сразу после закрытия трубки) и конечное (после погружения на глубину $\text{a}$). Будем считать процесс изотермическим, так как температура не меняется по условию. Следовательно, для воздуха в трубке выполняется закон Бойля-Мариотта: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.

1. Начальное состояние:

Воздух в трубке занимает объем $V_1$, пропорциональный высоте столба воздуха $\text{l}$. Пусть $\text{S}$ — площадь поперечного сечения трубки, тогда $V_1 = S \cdot l$. Давление воздуха в трубке $P_1$ равно атмосферному давлению $\text{H}$, так как трубку закрыли, когда она сообщалась с атмосферой.

$P_1 = H$

$V_1 = S \cdot l$

2. Конечное состояние:

Трубку погружают еще на $\text{a}$. Высота столба воздуха становится равной $\text{h}$. Конечный объем воздуха $V_2 = S \cdot h$.

Давление воздуха $P_2$ в трубке теперь уравновешивается внешним атмосферным давлением $\text{H}$ и давлением столба ртути, на который уровень ртути в трубке опустился ниже уровня ртути в сосуде.

Найдем разность уровней ртути $\Delta x$. Верхний конец трубки находится на высоте $l - a$ над уровнем ртути в сосуде. Столб воздуха имеет высоту $\text{h}$. Значит, уровень ртути в трубке находится на $\text{h}$ ниже верхнего конца трубки, то есть на высоте $(l-a)-h$ относительно внешнего уровня. Поскольку давление внутри трубки стало больше атмосферного, уровень ртути в трубке будет ниже, чем в сосуде. Глубина погружения уровня ртути в трубке относительно внешнего уровня составит $\Delta x = h - (l - a)$.

Давление $P_2$ равно сумме атмосферного давления и гидростатического давления столба ртути высотой $\Delta x$:

$P_2 = H + \Delta x = H + h - (l - a) = H + h - l + a$

Для удобства будем измерять давление в сантиметрах ртутного столба, а длины — в сантиметрах.

$H = 760$ мм рт. ст. $= 76$ см рт. ст.

3. Применяем закон Бойля-Мариотта:

$P_1 V_1 = P_2 V_2$

$H \cdot (S \cdot l) = (H + h - l + a) \cdot (S \cdot h)$

Сократив $\text{S}$, получим:

$H \cdot l = (H - l + a) \cdot h + h^2$

$h^2 + (H - l + a)h - Hl = 0$

Подставим числовые значения:

$h^2 + (76 - 60 + 30)h - 76 \cdot 60 = 0$

$h^2 + 46h - 4560 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\text{h}$. Решим его:

$D = b^2 - 4ac = 46^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4560) = 2116 + 18240 = 20356$

$h = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-46 \pm \sqrt{20356}}{2}$

$\sqrt{20356} \approx 142,67$

Поскольку высота $\text{h}$ должна быть положительной величиной, выбираем корень со знаком плюс:

$h = \frac{-46 + 142,67}{2} = \frac{96,67}{2} \approx 48,335$ см.

Округлим результат до одного знака после запятой.

$h \approx 48,3$ см.

Ответ: $h \approx 48,3 \text{ см.}$