Номер 9.34, страница 54 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.34, страница 54.

Условие.

9.34*. Один моль идеального газа переводят из состояния 1 в состояние 2 (см. рисунок). Найдите максимальную температуру $T_{\text{max}}$ газа в ходе процесса.

К задаче 9.34

Решение.

Решение 2.

Дано:

Количество вещества идеального газа: $\nu = 1$ моль
Состояние 1: $p_1 = 2p_0$, $V_1 = V_0$
Состояние 2: $p_2 = p_0$, $V_2 = 2V_0$
График процесса 1-2 в координатах $p(V)$ – прямая линия.

Найти:

$T_{max}$

Решение:

Температура идеального газа связана с его давлением и объемом через уравнение состояния Менделеева-Клапейрона: $pV = \nu RT$

Поскольку по условию количество вещества $\nu = 1$ моль, а $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, уравнение принимает вид $pV = RT$. Отсюда можно выразить температуру как функцию давления и объема: $T = \frac{pV}{R}$

Для нахождения максимальной температуры $T_{max}$ необходимо найти максимальное значение произведения $\text{pV}$ в ходе данного процесса.

Процесс 1-2 на диаграмме $p-V$ представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки с координатами $(V_1, p_1) = (V_0, 2p_0)$ и $(V_2, p_2) = (2V_0, p_0)$. Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки: $\frac{p - p_1}{V - V_1} = \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1}$

Подставим координаты точек 1 и 2 в это уравнение: $\frac{p - 2p_0}{V - V_0} = \frac{p_0 - 2p_0}{2V_0 - V_0} = \frac{-p_0}{V_0}$

Теперь выразим давление $\text{p}$ как линейную функцию объема $\text{V}$: $p - 2p_0 = -\frac{p_0}{V_0}(V - V_0)$ $p(V) = 2p_0 - \frac{p_0}{V_0}V + \frac{p_0}{V_0}V_0 = 3p_0 - \frac{p_0}{V_0}V$

Подставим полученное выражение для $p(V)$ в формулу для температуры: $T(V) = \frac{p(V) \cdot V}{R} = \frac{(3p_0 - \frac{p_0}{V_0}V)V}{R} = \frac{1}{R}(3p_0V - \frac{p_0}{V_0}V^2)$

Мы получили зависимость температуры от объема $T(V)$. Эта функция является квадратичной параболой, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $V^2$ отрицателен). Максимальное значение такой функции достигается в ее вершине. Чтобы найти объем, при котором температура максимальна, нужно найти производную функции $T(V)$ по $\text{V}$ и приравнять ее к нулю: $\frac{dT}{dV} = \frac{d}{dV}\left(\frac{1}{R}(3p_0V - \frac{p_0}{V_0}V^2)\right) = \frac{1}{R}(3p_0 - 2\frac{p_0}{V_0}V)$

Приравняем производную к нулю: $\frac{1}{R}(3p_0 - 2\frac{p_0}{V_0}V) = 0$ $3p_0 = 2\frac{p_0}{V_0}V$ $V = \frac{3}{2}V_0$

Полученное значение объема находится в интервале процесса [$V_0, 2V_0$], следовательно, именно в этой точке температура достигает своего максимума. Найдем соответствующее этому объему давление: $p = 3p_0 - \frac{p_0}{V_0}\left(\frac{3}{2}V_0\right) = 3p_0 - \frac{3}{2}p_0 = \frac{3}{2}p_0$

Теперь можем вычислить максимальное значение температуры $T_{max}$: $T_{max} = \frac{p \cdot V}{R} = \frac{(\frac{3}{2}p_0)(\frac{3}{2}V_0)}{R} = \frac{9}{4}\frac{p_0V_0}{R}$

Ответ: $T_{max} = \frac{9 p_0 V_0}{4R}$