Номер 9.41, страница 55 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.41, страница 55.

Условие.

9.41*. В сосуде находится смесь азота и водорода. При начальной температуре $\text{T}$ азот полностью диссоциирован на атомы, а диссоциацией водорода можно пренебречь. При нагревании до температуры $\text{2T}$ оба газа полностью диссоциируют, и давление утраивается по сравнению с начальным. Каково отношение масс азота и водорода в смеси?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Смесь азота и водорода в сосуде постоянного объема $\text{V}$.
Начальное состояние (1):
Температура: $T_1 = T$
Давление: $P_1$
Состав: атомарный азот (N) и молекулярный водород (H₂)
Конечное состояние (2):
Температура: $T_2 = 2T$
Давление: $P_2 = 3P_1$
Состав: атомарный азот (N) и атомарный водород (H)

Молярные массы:
Атомарный азот: $M_N = 14$ г/моль
Атомарный водород: $M_H = 1$ г/моль
Молекулярный водород: $M_{H_2} = 2$ г/моль

Перевод в систему СИ:
$M_N = 14 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
$M_H = 1 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
$M_{H_2} = 2 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

Отношение масс азота и водорода: $\frac{m_{аз}}{m_{вод}} - ?$

Решение:

Для решения задачи применим уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) $PV = \nu RT$ для начального и конечного состояний смеси.

В начальном состоянии при температуре $T_1 = T$ и давлении $P_1$ азот полностью диссоциирован на атомы, а водород находится в виде молекул. Пусть $m_{аз}$ — масса азота, а $m_{вод}$ — масса водорода. Количество вещества (число молей) в смеси равно сумме количеств веществ ее компонентов.
Количество вещества атомарного азота: $\nu_N = \frac{m_{аз}}{M_N}$.
Количество вещества молекулярного водорода: $\nu_{H_2} = \frac{m_{вод}}{M_{H_2}}$.
Общее количество вещества в смеси в начальном состоянии:
$\nu_1 = \nu_N + \nu_{H_2} = \frac{m_{аз}}{M_N} + \frac{m_{вод}}{M_{H_2}}$.
Уравнение состояния для начального состояния:
$P_1V = \left(\frac{m_{аз}}{M_N} + \frac{m_{вод}}{M_{H_2}}\right)RT$ (1)

В конечном состоянии при температуре $T_2 = 2T$ и давлении $P_2 = 3P_1$ оба газа полностью диссоциированы на атомы.
Количество вещества атомарного азота не изменилось: $\nu_N = \frac{m_{аз}}{M_N}$.
Количество вещества атомарного водорода: $\nu_H = \frac{m_{вод}}{M_H}$.
Общее количество вещества в смеси в конечном состоянии:
$\nu_2 = \nu_N + \nu_H = \frac{m_{аз}}{M_N} + \frac{m_{вод}}{M_H}$.
Уравнение состояния для конечного состояния:
$P_2V = \nu_2 R T_2 \implies 3P_1V = \left(\frac{m_{аз}}{M_N} + \frac{m_{вод}}{M_H}\right)R(2T)$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Чтобы найти отношение масс, разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{3P_1V}{P_1V} = \frac{\left(\frac{m_{аз}}{M_N} + \frac{m_{вод}}{M_H}\right)R(2T)}{\left(\frac{m_{аз}}{M_N} + \frac{m_{вод}}{M_{H_2}}\right)RT}$
Сократим одинаковые множители ($P_1V$, $\text{R}$, $\text{T}$):
$3 = \frac{2\left(\frac{m_{аз}}{M_N} + \frac{m_{вод}}{M_H}\right)}{\frac{m_{аз}}{M_N} + \frac{m_{вод}}{M_{H_2}}}$
Преобразуем полученное выражение:
$3\left(\frac{m_{аз}}{M_N} + \frac{m_{вод}}{M_{H_2}}\right) = 2\left(\frac{m_{аз}}{M_N} + \frac{m_{вод}}{M_H}\right)$
$\frac{3m_{аз}}{M_N} + \frac{3m_{вод}}{M_{H_2}} = \frac{2m_{аз}}{M_N} + \frac{2m_{вод}}{M_H}$
Сгруппируем слагаемые с $m_{аз}$ в левой части, а с $m_{вод}$ в правой:
$\frac{3m_{аз}}{M_N} - \frac{2m_{аз}}{M_N} = \frac{2m_{вод}}{M_H} - \frac{3m_{вод}}{M_{H_2}}$
$\frac{m_{аз}}{M_N} = m_{вод}\left(\frac{2}{M_H} - \frac{3}{M_{H_2}}\right)$
Учтем, что молярная масса молекулярного водорода в два раза больше молярной массы атомарного: $M_{H_2} = 2M_H$.
$\frac{m_{аз}}{M_N} = m_{вод}\left(\frac{2}{M_H} - \frac{3}{2M_H}\right) = m_{вод}\left(\frac{4-3}{2M_H}\right) = \frac{m_{вод}}{2M_H}$
Из этого уравнения выразим искомое отношение масс:
$\frac{m_{аз}}{m_{вод}} = \frac{M_N}{2M_H}$
Подставим значения молярных масс:
$\frac{m_{аз}}{m_{вод}} = \frac{14}{2 \cdot 1} = 7$

Ответ: 7.