Номер 9.37, страница 54 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Молекулярная физика. 9. Молекулярно-кинетическая теория. Свойства газов - номер 9.37, страница 54.

Условие.

9.37. В цилиндре под поршнем площадью $S = 100 \text{ см}^2$ и массой $m_1 = 50 \text{ кг}$ находится воздух при температуре $t_1 = 7 \text{ °C}$. Поршень находится на высоте $h_1 = 60 \text{ см}$ от дна цилиндра. Воздух в цилиндре нагревают до $t_2 = 47 \text{ °C}$, а на поршень ставят гирю массой $m_2 = 100 \text{ кг}$. На сколько опустится или поднимется поршень по сравнению со своим начальным положением? Атмосферное давление $p_a = 100 \text{ кПа}$, трением поршня о стенки цилиндра можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$S = 100 \text{ см}^2$

$m_1 = 50 \text{ кг}$

$t_1 = 7 \text{ °C}$

$h_1 = 60 \text{ см}$

$t_2 = 47 \text{ °C}$

$m_2 = 100 \text{ кг}$

$p_a = 100 \text{ кПа}$

$S = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.01 \text{ м}^2$
$T_1 = 7 + 273 = 280 \text{ К}$
$h_1 = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$
$T_2 = 47 + 273 = 320 \text{ К}$
$p_a = 100 \text{ кПа} = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$\Delta h$ — изменение высоты поршня.

Решение:

Рассмотрим два состояния воздуха в цилиндре: начальное (состояние 1) и конечное (состояние 2). Поскольку масса воздуха в цилиндре остается постоянной, можно применить объединенный газовый закон (уравнение Клапейрона):

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

где $\text{p}$, $\text{V}$ и $\text{T}$ — давление, объем и абсолютная температура газа соответственно.

Найдем давление газа в начальном состоянии. Поршень находится в равновесии, следовательно, давление газа $p_1$ уравновешивает атмосферное давление $p_a$ и давление, создаваемое массой поршня $m_1$:

$p_1 = p_a + \frac{m_1 g}{S}$

В конечном состоянии на поршень дополнительно кладут гирю массой $m_2$. Давление газа $p_2$ будет уравновешивать атмосферное давление и давление, создаваемое поршнем и гирей:

$p_2 = p_a + \frac{(m_1 + m_2) g}{S}$

Объемы газа в начальном и конечном состояниях выражаются через высоту поршня $\text{h}$ и площадь его основания $\text{S}$:

$V_1 = S h_1$

$V_2 = S h_2$

Подставим выражения для давлений и объемов в объединенный газовый закон:

$\frac{(p_a + \frac{m_1 g}{S}) S h_1}{T_1} = \frac{(p_a + \frac{(m_1 + m_2) g}{S}) S h_2}{T_2}$

Отсюда можно выразить конечную высоту поршня $h_2$:

$h_2 = h_1 \cdot \frac{p_a + \frac{m_1 g}{S}}{p_a + \frac{(m_1 + m_2) g}{S}} \cdot \frac{T_2}{T_1}$

Произведем вычисления, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Давление в начальном состоянии:

$p_1 = 10^5 \text{ Па} + \frac{50 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0.01 \text{ м}^2} = 10^5 \text{ Па} + 50000 \text{ Па} = 150000 \text{ Па}$

Давление в конечном состоянии:

$p_2 = 10^5 \text{ Па} + \frac{(50 \text{ кг} + 100 \text{ кг}) \cdot 10 \text{ м/с}^2}{0.01 \text{ м}^2} = 10^5 \text{ Па} + 150000 \text{ Па} = 250000 \text{ Па}$

Теперь найдем конечную высоту поршня $h_2$:

$h_2 = 0.6 \text{ м} \cdot \frac{150000 \text{ Па}}{250000 \text{ Па}} \cdot \frac{320 \text{ К}}{280 \text{ К}} = 0.6 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{7} = \frac{14.4}{35} \approx 0.4114 \text{ м}$

Поскольку $h_2 < h_1$, поршень опустился. Найдем, на сколько он опустился:

$\Delta h = h_1 - h_2 = 0.6 \text{ м} - 0.4114 \text{ м} \approx 0.1886 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0.1886 \text{ м} \approx 18.9 \text{ см}$. Округлим до целого значения.

Ответ: Поршень опустится на 19 см.