Номер 487, страница 77 - гдз по физике 8 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Электрические явления. Электрическое сопротивление проводников - номер 487, страница 77.

Условие.

487. Медный провод, имеющий площадь поперечного сечения $1 \text{ мм}^2$, нужно заменить стальным такой же длины, не изменяя сопротивления. Какой площади поперечного сечения нужно взять стальной провод?

Решение.

Дано:

Площадь поперечного сечения медного провода $S_м = 1 \text{ мм}^2$

Длины проводов равны $l_м = l_с = l$

Сопротивления проводов равны $R_м = R_с = R$

Удельное сопротивление меди (табличное значение) $\rho_м \approx 0.017 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Удельное сопротивление стали (табличное значение) $\rho_с \approx 0.12 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$

Перевод в систему СИ:

$S_м = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$\rho_м \approx 0.017 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

$\rho_с \approx 0.12 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} = 1.2 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:

Площадь поперечного сечения стального провода $S_с$ - ?

Решение:

Сопротивление проводника вычисляется по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $\text{l}$ – длина проводника, а $\text{S}$ – площадь его поперечного сечения.

Запишем выражения для сопротивления медного ($R_м$) и стального ($R_с$) проводов:

$R_м = \rho_м \frac{l_м}{S_м}$

$R_с = \rho_с \frac{l_с}{S_с}$

Согласно условию задачи, длины проводов и их сопротивления равны ($l_м = l_с$ и $R_м = R_с$). Следовательно, мы можем приравнять правые части уравнений:

$\rho_м \frac{l_м}{S_м} = \rho_с \frac{l_с}{S_с}$

Поскольку длины $l_м$ и $l_с$ равны, их можно сократить в обеих частях уравнения:

$\frac{\rho_м}{S_м} = \frac{\rho_с}{S_с}$

Из этого соотношения выразим искомую величину – площадь поперечного сечения стального провода $S_с$:

$S_с = S_м \cdot \frac{\rho_с}{\rho_м}$

Теперь подставим числовые значения. Для удобства расчетов можно использовать внесистемные единицы, так как их отношение будет безразмерной величиной, и результат для площади получится сразу в $\text{мм}^2$.

$S_с = 1 \text{ мм}^2 \cdot \frac{0.12 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}}{0.017 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}} \approx 7.0588... \text{ мм}^2$

Округлим полученное значение до сотых. Так как удельное сопротивление стали больше, чем у меди, для сохранения того же сопротивления при той же длине требуется стальной провод с большей площадью поперечного сечения, что и подтверждается расчетом.

$S_с \approx 7.06 \text{ мм}^2$

Ответ: площадь поперечного сечения стального провода должна быть приблизительно $7.06 \text{ мм}^2$.