Номер 499, страница 78 - гдз по физике 8 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Электрические явления. Электрическое сопротивление проводников - номер 499, страница 78.

Условие.

499. Проводник, имеющий площадь поперечного сечения 0,5 мм² и сопротивление 16 Ом, надо заменить проводником из того же материала и той же длины, но сопротивлением 80 Ом. Какой площади поперечного сечения проводник необходимо подобрать для этой замены?

Решение.

Дано:

Площадь поперечного сечения первого проводника, $S_1 = 0,5 \text{ мм}^2$

Сопротивление первого проводника, $R_1 = 16 \text{ Ом}$

Сопротивление второго проводника, $R_2 = 80 \text{ Ом}$

Материал проводников одинаков, $\rho_1 = \rho_2 = \rho$

Длина проводников одинакова, $l_1 = l_2 = l$

Перевод в систему СИ:

$S_1 = 0,5 \text{ мм}^2 = 0,5 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2$

Найти:

Площадь поперечного сечения второго проводника, $S_2$ - ?

Решение:

Сопротивление проводника зависит от его длины, площади поперечного сечения и удельного сопротивления материала. Эта зависимость выражается формулой:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\text{R}$ — сопротивление, $\rho$ — удельное сопротивление материала, $\text{l}$ — длина проводника, $\text{S}$ — площадь поперечного сечения.

Запишем эту формулу для первого (изначального) и второго (нового) проводников:

Для первого проводника: $R_1 = \rho \frac{l}{S_1}$

Для второго проводника: $R_2 = \rho \frac{l}{S_2}$

Поскольку по условию задачи материал и длина проводников не меняются, то произведение удельного сопротивления на длину ($\rho \cdot l$) является постоянной величиной для обоих случаев.

Выразим эту величину из формулы для первого проводника:

$\rho \cdot l = R_1 \cdot S_1$

Теперь подставим это выражение в формулу для второго проводника:

$R_2 = \frac{R_1 \cdot S_1}{S_2}$

Из полученного соотношения выразим искомую площадь поперечного сечения второго проводника $S_2$:

$S_2 = \frac{R_1 \cdot S_1}{R_2}$

Подставим известные значения в формулу. Так как отношение сопротивлений является безразмерной величиной, мы можем проводить вычисления, оставив площадь в $\text{мм}^2$.

$S_2 = \frac{16 \text{ Ом} \cdot 0,5 \text{ мм}^2}{80 \text{ Ом}} = \frac{8}{80} \text{ мм}^2 = 0,1 \text{ мм}^2$

Это логично, так как сопротивление проводника обратно пропорционально площади его поперечного сечения. Чтобы увеличить сопротивление в $80/16 = 5$ раз, необходимо уменьшить площадь сечения в 5 раз.

Ответ: для замены необходимо подобрать проводник с площадью поперечного сечения $0,1 \text{ мм}^2$.