Номер 614, страница 95 - гдз по физике 8 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Электрические явления. Параллельное соединение проводников - номер 614, страница 95.

Условие.

614. Докажите, что общее сопротивление участка цепи при параллельном соединении проводников меньше сопротивления отдельных проводников.

Решение.

Решение

Доказательство можно провести несколькими способами.

Способ 1: Через проводимость

Рассмотрим участок цепи, состоящий из $\text{n}$ проводников, соединенных параллельно. Их сопротивления равны $R_1, R_2, ..., R_n$. Все значения сопротивлений являются положительными величинами ($R_i > 0$).

При параллельном соединении складываются величины, обратные сопротивлению, которые называются проводимостями ($G = 1/R$). Формула для общего сопротивления $R_{общ}$ выглядит так:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}$

Выразим это через проводимости:

$G_{общ} = G_1 + G_2 + ... + G_n$

Так как проводимость каждого отдельного проводника $G_i$ — это положительное число, их сумма $G_{общ}$ будет заведомо больше любого из слагаемых. Возьмем для сравнения любой проводник с сопротивлением $R_k$ и проводимостью $G_k$.

$G_{общ} > G_k$

Подставим обратно выражения для сопротивлений:

$\frac{1}{R_{общ}} > \frac{1}{R_k}$

Поскольку оба сопротивления ($R_{общ}$ и $R_k$) — положительные числа, мы можем "перевернуть" дроби, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$R_{общ} < R_k$

Так как в качестве $R_k$ мы могли выбрать любой проводник из цепи, это доказывает, что общее сопротивление меньше сопротивления любого отдельного проводника.

Способ 2: Наглядное объяснение

Сопротивление проводника можно представить как препятствие для прохождения электрического тока. При параллельном соединении мы добавляем новые пути (ветви) для прохождения тока. Каждый новый путь увеличивает общую "пропускную способность" участка цепи, даже если этот путь имеет высокое сопротивление. Увеличивая количество путей для тока, мы уменьшаем общее препятствие для него. Следовательно, общее сопротивление участка цепи уменьшается и становится меньше, чем сопротивление любого из отдельных путей, включая путь с наименьшим сопротивлением.

Способ 3: Пример для двух проводников

Для двух проводников, соединенных параллельно, формула общего сопротивления выглядит так:

$R_{общ} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Сравним $R_{общ}$ с $R_1$. Для этого разделим $R_{общ}$ на $R_1$:

$\frac{R_{общ}}{R_1} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \cdot \frac{1}{R_1} = \frac{R_2}{R_1 + R_2}$

Поскольку сопротивления $R_1$ и $R_2$ — положительные величины, знаменатель $R_1 + R_2$ всегда больше числителя $R_2$. Это означает, что дробь $\frac{R_2}{R_1 + R_2}$ всегда меньше единицы.

$\frac{R_{общ}}{R_1} < 1$

Отсюда следует, что $R_{общ} < R_1$. Аналогично можно доказать, что $R_{общ} < R_2$.

Ответ: Утверждение доказано. При параллельном соединении общая проводимость ($1/R$) участка цепи равна сумме проводимостей всех параллельных ветвей. Сумма положительных чисел всегда больше любого из слагаемых. Следовательно, общая проводимость всегда больше проводимости любой отдельной ветви. А так как сопротивление обратно пропорционально проводимости, то общее сопротивление всегда будет меньше сопротивления любой отдельной ветви.