Номер 2, страница 144 - гдз по физике 8 класс учебник Пёрышкин, Иванов

2. Из металлической фольги изготовьте проводники с различным сопротивлением так, чтобы их сопротивления отличались в 2, 3, 5, 10 раз. Обоснуйте правильность выполнения задания.

Металлическая фольга (удельное сопротивление материала $\rho$ = const, толщина фольги $t$ = const).

Требуется изготовить проводники, сопротивления которых относятся к сопротивлению некоторого эталонного проводника как 2:1, 3:1, 5:1, 10:1.

Способ изготовления проводников с заданными отношениями сопротивлений и его обоснование.

Электрическое сопротивление проводника определяется формулой:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное электрическое сопротивление материала, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь его поперечного сечения.

Так как все проводники изготавливаются из одной и той же металлической фольги, удельное сопротивление $\rho$ для них одинаково. Фольга имеет постоянную толщину $t$. Проводники можно изготовить, вырезав из фольги полоски прямоугольной формы. Для такой полоски длиной $l$ и шириной $w$ площадь поперечного сечения будет равна $S = w \cdot t$.

Подставив выражение для площади сечения в формулу сопротивления, получим:

$R = \rho \frac{l}{w \cdot t}$

Поскольку величины $\rho$ и $t$ являются постоянными для всех изготавливаемых проводников, их сопротивление $R$ зависит только от отношения длины $l$ к ширине $w$:

$R \propto \frac{l}{w}$

Чтобы получить проводники, сопротивления которых отличаются в заданное число раз, необходимо изменять их длину $l$ и/или ширину $w$. Рассмотрим два наиболее простых способа.

Способ 1: Изменение длины при постоянной ширине.

Выберем в качестве эталона проводник (полоску фольги) с некоторой длиной $l_0$ и шириной $w_0$. Его сопротивление будет равно $R_0 = \rho \frac{l_0}{w_0 \cdot t}$. Чтобы получить проводник с сопротивлением $R_k = k \cdot R_0$ (где $k = 2, 3, 5, 10$), необходимо, чтобы выполнялось условие:

$\rho \frac{l_k}{w_k \cdot t} = k \cdot \left(\rho \frac{l_0}{w_0 \cdot t}\right)$

Если мы сохраним ширину постоянной, то есть $w_k = w_0$, то из этого соотношения получим:

$\frac{l_k}{w_0} = k \cdot \frac{l_0}{w_0} \implies l_k = k \cdot l_0$

Таким образом, чтобы изготовить проводники с сопротивлениями, в 2, 3, 5 и 10 раз большими, чем у эталонного, нужно вырезать полоски одинаковой с эталоном ширины $w_0$, но с длинами $2l_0, 3l_0, 5l_0$ и $10l_0$ соответственно.

Способ 2: Изменение ширины при постоянной длине.

Аналогично, если сохранить длину постоянной ($l_k = l_0$), то для получения сопротивления $R_k = k \cdot R_0$ из соотношения $\frac{l_k}{w_k} = k \cdot \frac{l_0}{w_0}$ получим:

$\frac{l_0}{w_k} = k \cdot \frac{l_0}{w_0} \implies \frac{1}{w_k} = \frac{k}{w_0} \implies w_k = \frac{w_0}{k}$

Это означает, что можно изготовить проводники одинаковой длины $l_0$, но с шириной, в 2, 3, 5 и 10 раз меньшей, чем ширина эталонного проводника $w_0$.

Обоснование: Правильность обоих способов следует непосредственно из формулы сопротивления $R = \rho \frac{l}{S}$. Сопротивление проводника прямо пропорционально его длине $l$ и обратно пропорционально площади поперечного сечения $S$. Поскольку фольга однородна по материалу ($\rho=const$) и толщине ($t=const$), площадь поперечного сечения $S=w \cdot t$ прямо пропорциональна ширине полоски $w$. Следовательно, сопротивление $R$ прямо пропорционально отношению длины к ширине ($l/w$). Изменяя это отношение в $k$ раз, мы изменяем сопротивление также в $k$ раз.

Ответ: Чтобы изготовить проводники с сопротивлениями, отличающимися в 2, 3, 5 и 10 раз, следует вырезать из фольги прямоугольные полоски. Можно использовать один из двух подходов: 1) сделать все полоски одинаковой ширины, а их длины взять пропорциональными требуемым сопротивлениям (например, вырезать полоски длиной $l, 2l, 3l, 5l, 10l$); 2) сделать все полоски одинаковой длины, а их ширину взять обратно пропорциональной требуемым сопротивлениям (например, вырезать полоски шириной $w, w/2, w/3, w/5, w/10$). Обоснованием служит то, что сопротивление $R$ полоски из фольги ($R = \rho \frac{l}{w \cdot t}$) при постоянном удельном сопротивлении $\rho$ и толщине $t$ прямо пропорционально отношению длины к ширине $l/w$.