Страница 144 - гдз по физике 8 класс учебник Пёрышкин, Иванов

1. Как зависит сопротивление проводника от его длины и от площади поперечного сечения?

1. Решение

Сопротивление проводника $R$ зависит от его геометрических размеров (длины и площади поперечного сечения) и от материала, из которого он изготовлен. Эта зависимость описывается следующей формулой:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где:

$R$ – электрическое сопротивление проводника, измеряется в Омах (Ом);

$\rho$ (ро) – удельное электрическое сопротивление материала проводника, характеристика, зависящая от вещества. Измеряется в Ом·м;

$l$ – длина проводника, измеряется в метрах (м);

$S$ – площадь поперечного сечения проводника, измеряется в квадратных метрах (м²).

Из этой формулы можно сделать следующие выводы о зависимости сопротивления:

Сопротивление проводника прямо пропорционально его длине ($R \propto l$). Это означает, что чем длиннее проводник, тем больше его сопротивление. Если увеличить длину проводника в несколько раз, его сопротивление увеличится во столько же раз (при прочих равных условиях).

Сопротивление проводника обратно пропорционально площади его поперечного сечения ($R \propto \frac{1}{S}$). Это означает, что чем толще проводник (чем больше площадь его сечения), тем меньше его сопротивление. Если увеличить площадь поперечного сечения в несколько раз, сопротивление уменьшится во столько же раз (при прочих равных условиях).

Ответ: Сопротивление проводника прямо пропорционально его длине и обратно пропорционально площади его поперечного сечения.

2. Решение

Вопрос, по-видимому, относится к конкретному эксперименту, который не показан на изображении. Однако можно объяснить общий принцип выбора проводников для исследования зависимости сопротивления от различных параметров.

Чтобы экспериментально изучить зависимость сопротивления от одного параметра (например, длины), необходимо, чтобы все остальные параметры, влияющие на сопротивление, оставались неизменными. Этот принцип называется методом контроля переменных.

Для исследования зависимости сопротивления от длины ($l$): необходимо взять несколько проводников, изготовленных из одного и того же материала (одинаковое $\rho$) и имеющих одинаковую площадь поперечного сечения ($S$), но разную длину ($l_1, l_2, l_3, \dots$). Измеряя сопротивление каждого из них, можно построить график зависимости $R$ от $l$ и подтвердить прямую пропорциональность.

Для исследования зависимости сопротивления от площади поперечного сечения ($S$): необходимо взять несколько проводников из одного и того же материала (одинаковое $\rho$) и одинаковой длины ($l$), но с разной площадью поперечного сечения ($S_1, S_2, S_3, \dots$). Это позволит установить обратную пропорциональную зависимость сопротивления от площади.

Для исследования зависимости сопротивления от материала проводника ($\rho$): необходимо взять несколько проводников, имеющих одинаковую длину ($l$) и одинаковую площадь поперечного сечения ($S$), но изготовленных из разных материалов (например, медь, железо, нихром). Сравнивая их сопротивления, можно увидеть, как оно зависит от рода вещества.

Таким образом, выбор проводников в опыте диктуется целью эксперимента: изменяется только исследуемый параметр, а все остальные сохраняются постоянными.

Ответ: Для изучения зависимости сопротивления от длины выбирают проводники из одного материала с одинаковой площадью сечения, но разной длины. Для изучения зависимости от площади сечения выбирают проводники из одного материала одинаковой длины, но с разной площадью сечения.

2. Объясните выбор проводников в опыте, изображённом на рисунке 92.

1. Сопротивление проводника $R$ зависит от его геометрических размеров (длины $l$ и площади поперечного сечения $S$) и от материала, из которого он изготовлен (удельного сопротивления $\rho$). Эта зависимость выражается формулой:

$R = \rho \frac{l}{S}$

Из этой формулы следует, что сопротивление проводника:

– прямо пропорционально его длине ($R \propto l$). Это означает, что при увеличении длины проводника в несколько раз его сопротивление увеличивается во столько же раз (при неизменных площади сечения и материале).

– обратно пропорционально площади его поперечного сечения ($R \propto \frac{1}{S}$). Это означает, что при увеличении площади сечения (толщины) проводника в несколько раз его сопротивление уменьшается во столько же раз (при неизменных длине и материале).

Ответ: Сопротивление проводника прямо пропорционально его длине и обратно пропорционально площади его поперечного сечения.

2. Поскольку рисунок 92 не представлен, объясним общий принцип выбора проводников для опытов по изучению зависимости сопротивления от его параметров. Цель таких опытов — изолировать влияние одного параметра (например, длины), сохраняя все остальные постоянными.

– Для изучения зависимости сопротивления от длины ($l$): выбирают несколько проводников, изготовленных из одного и того же материала (одинаковое $\rho$) и имеющих одинаковую площадь поперечного сечения (одинаковое $S$), но разную длину. Сравнивая их сопротивления, можно установить прямую пропорциональную зависимость $R$ от $l$.

– Для изучения зависимости сопротивления от площади поперечного сечения ($S$): выбирают несколько проводников, изготовленных из одного и того же материала (одинаковое $\rho$) и имеющих одинаковую длину (одинаковое $l$), но разную площадь поперечного сечения. Сравнивая их сопротивления, можно установить обратную пропорциональную зависимость $R$ от $S$.

– Для изучения зависимости сопротивления от материала (рода вещества, $\rho$): выбирают несколько проводников, имеющих одинаковую длину ($l$) и одинаковую площадь поперечного сечения ($S$), но изготовленных из разных материалов (например, из меди, алюминия, нихрома). Это позволяет показать, что сопротивление зависит от свойств самого вещества.

Таким образом, выбор проводников в подобных опытах диктуется необходимостью изменять только один исследуемый параметр, оставляя остальные неизменными, чтобы корректно выявить характер зависимости.

Ответ: Проводники для опыта выбираются так, чтобы можно было поочередно исследовать зависимость сопротивления от длины, площади поперечного сечения и материала. Для этого при изменении одного параметра (например, длины) два других (площадь сечения и материал) должны оставаться неизменными.

3. Удельное сопротивление (обозначается греческой буквой $\rho$) — это физическая величина, которая характеризует способность материала препятствовать прохождению электрического тока. Она является внутренней характеристикой самого вещества и не зависит от размеров и формы проводника.

Физический смысл удельного сопротивления можно понять из формулы $R = \rho \frac{l}{S}$. Если взять проводник стандартных размеров: длиной $l=1$ м и площадью поперечного сечения $S=1$ м², то его сопротивление будет численно равно удельному сопротивлению материала, из которого он сделан: $R = \rho$.

Таким образом, удельное сопротивление показывает, каким сопротивлением обладает изготовленный из данного вещества проводник, имеющий длину 1 м и площадь поперечного сечения 1 м². Единица измерения удельного сопротивления в системе СИ — Ом-метр ($\text{Ом} \cdot \text{м}$).

Чем меньше удельное сопротивление вещества, тем лучше оно проводит электрический ток (является лучшим проводником). Например, у серебра и меди очень низкое удельное сопротивление, а у фарфора и резины — очень высокое, поэтому они являются изоляторами.

Ответ: Удельное сопротивление показывает, каким сопротивлением обладает проводник из данного вещества длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м²; это мера способности материала сопротивляться прохождению электрического тока.

3. Что показывает удельное сопротивление проводника?

3. Удельное сопротивление, обозначаемое греческой буквой $\rho$ (ро), — это физическая величина, которая характеризует свойство материала препятствовать прохождению электрического тока. Это фундаментальная характеристика самого вещества, не зависящая от размеров проводника, а только от рода материала и его состояния (например, температуры).

Физический смысл удельного сопротивления заключается в том, что оно численно равно сопротивлению однородного проводника, который изготовлен из данного материала и имеет стандартные размеры: длину 1 метр и площадь поперечного сечения 1 квадратный метр.

Материалы с низким удельным сопротивлением (например, серебро, медь) являются хорошими проводниками, а материалы с высоким удельным сопротивлением (например, фарфор, резина) — плохими проводниками (диэлектриками). Единицей измерения удельного сопротивления в системе СИ является Ом·метр (Ом·м).

Ответ: Удельное сопротивление показывает, каким электрическим сопротивлением обладает изготовленный из данного вещества проводник длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м².

4. Сопротивление проводника можно рассчитать по формуле, которая связывает его геометрические параметры (длину и площадь поперечного сечения) и свойство материала (удельное сопротивление). Формула для расчёта сопротивления $R$ выглядит следующим образом:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где: $R$ — электрическое сопротивление проводника (в Омах, Ом), $\rho$ — удельное электрическое сопротивление материала (в Ом·м), $l$ — длина проводника (в метрах, м), а $S$ — площадь поперечного сечения проводника (в квадратных метрах, м²).

Эта формула показывает, что сопротивление проводника прямо пропорционально его длине $l$ и удельному сопротивлению материала $\rho$, и обратно пропорционально площади его поперечного сечения $S$. То есть, чем длиннее и тоньше проводник, и чем больше удельное сопротивление его материала, тем выше будет его электрическое сопротивление.

Ответ: Сопротивление проводника можно рассчитать по формуле $R = \rho \frac{l}{S}$.

4. По какой формуле можно рассчитать сопротивление проводника?

4. Сопротивление проводника можно рассчитать по формуле, которая связывает его электрическое сопротивление с его геометрическими размерами и материалом, из которого он изготовлен. Эта формула имеет следующий вид:

$R = \rho \frac{l}{S}$

В этой формуле:

• $R$ — это электрическое сопротивление проводника, измеряемое в Омах (Ом).
• $\rho$ (ро) — это удельное электрическое сопротивление, которое является характеристикой материала проводника.
• $l$ — это длина проводника, измеряемая в метрах (м).
• $S$ — это площадь поперечного сечения проводника, измеряемая в квадратных метрах ($\text{м}^2$).

Данная формула показывает, что сопротивление проводника прямо пропорционально его длине и удельному сопротивлению материала, и обратно пропорционально площади его поперечного сечения. То есть, чем длиннее и тоньше провод, и чем хуже материал проводит ток, тем выше будет его сопротивление.

Ответ: Сопротивление проводника можно рассчитать по формуле $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ – удельное сопротивление материала, $l$ – длина проводника, а $S$ – площадь его поперечного сечения.

5. Единица измерения удельного сопротивления выводится из формулы для расчета сопротивления $R = \rho \frac{l}{S}$. Чтобы найти единицу для $\rho$, выразим эту величину из формулы:

$\rho = R \frac{S}{l}$

Теперь подставим в полученное выражение единицы измерения для каждой физической величины в Международной системе единиц (СИ):

• Единица сопротивления $R$ — Ом.
• Единица площади $S$ — квадратный метр ($\text{м}^2$).
• Единица длины $l$ — метр (м).

Следовательно, единица измерения удельного сопротивления $\rho$ в СИ будет:

$\frac{\text{Ом} \cdot \text{м}^2}{\text{м}} = \text{Ом} \cdot \text{м}$

На практике, особенно в электротехнике, часто используют внесистемную единицу $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$, так как площадь поперечного сечения проводов обычно мала и ее удобнее измерять в квадратных миллиметрах.

Ответ: Единицей удельного сопротивления в системе СИ является Ом-метр ($\text{Ом} \cdot \text{м}$).

5. Какова единица удельного сопротивления?

Решение

Удельное сопротивление (обозначается греческой буквой $\rho$ - ро) — это физическая величина, которая характеризует способность материала препятствовать прохождению электрического тока. Она зависит от рода вещества и его состояния (например, температуры).

Единицу измерения удельного сопротивления можно вывести из формулы, связывающей сопротивление проводника с его геометрическими размерами и материалом:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $R$ — сопротивление проводника, $l$ — его длина, а $S$ — площадь поперечного сечения.

Чтобы найти единицу измерения удельного сопротивления, выразим $\rho$ из этой формулы:

$\rho = R \frac{S}{l}$

Теперь подставим в полученное выражение единицы измерения для каждой величины в Международной системе единиц (СИ):

Единица сопротивления $R$ — Ом;

Единица площади $S$ — квадратный метр ($м^2$);

Единица длины $l$ — метр (м).

Следовательно, единица измерения для удельного сопротивления $\rho$ получается следующей:

$[\rho] = \frac{Ом \cdot м^2}{м} = Ом \cdot м$

Таким образом, в системе СИ удельное сопротивление измеряется в Ом-метрах.

Стоит отметить, что на практике часто используется внесистемная единица $\frac{Ом \cdot мм^2}{м}$. Она удобна тем, что площади поперечного сечения проводов обычно малы и измеряются в квадратных миллиметрах.

Ответ: Единицей удельного сопротивления в системе СИ является Ом-метр (Ом·м).

Удельное сопротивление меди равно $1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$. Что это означает?

Решение

Удельное электрическое сопротивление, обозначаемое греческой буквой $ \rho $ (ро), является фундаментальной физической характеристикой вещества. Она показывает, насколько хорошо материал сопротивляется прохождению через него электрического тока.

Связь между сопротивлением проводника ($ R $), его геометрическими размерами и удельным сопротивлением материала, из которого он изготовлен, выражается формулой:

$ R = \rho \frac{l}{S} $

где:

• $ R $ — электрическое сопротивление проводника (в Омах, Ом),
• $ \rho $ — удельное электрическое сопротивление материала (в Ом·м),
• $ l $ — длина проводника (в метрах, м),
• $ S $ — площадь поперечного сечения проводника (в квадратных метрах, м²).

Из этой формулы можно выразить физический смысл удельного сопротивления. Если взять проводник стандартных размеров, а именно длиной $ l = 1 $ м и площадью поперечного сечения $ S = 1 $ м², то его сопротивление $ R $ будет численно равно удельному сопротивлению $ \rho $.

Следовательно, утверждение, что удельное сопротивление меди равно $ 1,7 \cdot 10^{-8} $ Ом·м, означает, что медный проводник, имеющий длину 1 метр и площадь поперечного сечения 1 квадратный метр, будет оказывать электрическому току сопротивление в $ 1,7 \cdot 10^{-8} $ Ом.

Ответ: Это означает, что сопротивление медного проводника длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м² равно $ 1,7 \cdot 10^{-8} $ Ом.

УПРАЖНЕНИЕ 31

1. Каково сопротивление нихромовой проволоки длиной 1 м, если её площадь поперечного сечения $1 \text{ мм}^2$?

1. Дано:

Материал – нихром

Длина проволоки $l = 1$ м

Площадь поперечного сечения $S = 1$ мм²

$S = 1 \text{ мм}^2 = 1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

Сопротивление $R$

Решение:

Сопротивление проводника рассчитывается по формуле, которая связывает его геометрические размеры и материал, из которого он сделан:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $R$ – электрическое сопротивление, $\rho$ – удельное электрическое сопротивление материала, $l$ – длина проводника, $S$ – площадь поперечного сечения.

Удельное сопротивление нихрома является табличной величиной. Возьмем значение $\rho = 1,1 \cdot 10^{-6}$ Ом·м.

Все величины, необходимые для расчета, известны. Длина $l$ дана в системе СИ. Площадь поперечного сечения $S$ мы уже перевели в систему СИ: $S = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$.

Подставим числовые значения в формулу:

$R = 1,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot \frac{1 \text{ м}}{1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}$

Произведем вычисления:

$R = \frac{1,1 \cdot 10^{-6}}{1 \cdot 10^{-6}} \text{ Ом} = 1,1 \text{ Ом}$

Ответ: 1,1 Ом.

2. Имеется два проводника одинакового сечения, изготовленные из одного материала. Длина одного 10 см, другого 60 см. Какой проводник имеет большее сопротивление и во сколько раз?

Дано:

Длина первого проводника, $l_1 = 10$ см

Длина второго проводника, $l_2 = 60$ см

Материал проводников одинаковый: $\rho_1 = \rho_2 = \rho$

Сечение проводников одинаковое: $S_1 = S_2 = S$

$l_1 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$l_2 = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

Какой проводник имеет большее сопротивление и во сколько раз?

Решение:

Сопротивление проводника $R$ зависит от его длины $l$, площади поперечного сечения $S$ и удельного сопротивления материала $\rho$. Эта зависимость выражается формулой:

$R = \rho \frac{l}{S}$

Запишем выражения для сопротивлений первого ($R_1$) и второго ($R_2$) проводников:

$R_1 = \rho \frac{l_1}{S}$

$R_2 = \rho \frac{l_2}{S}$

Из формулы видно, что при одинаковых материале ($\rho$) и площади сечения ($S$), сопротивление проводника прямо пропорционально его длине ($R \propto l$). Это означает, что чем длиннее проводник, тем больше его сопротивление.

Сравним длины проводников: $l_2 = 60$ см, а $l_1 = 10$ см. Так как $l_2 > l_1$, то и сопротивление второго проводника больше, чем первого: $R_2 > R_1$. Таким образом, проводник длиной 60 см имеет большее сопротивление.

Чтобы определить, во сколько раз сопротивление второго проводника больше, найдем их отношение:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho \frac{l_2}{S}}{\rho \frac{l_1}{S}}$

Удельное сопротивление $\rho$ и площадь сечения $S$ в числителе и знаменателе сокращаются, и мы получаем:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1}$

Подставим значения длин:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{60 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 6$

Следовательно, сопротивление второго, более длинного, проводника в 6 раз больше сопротивления первого.

Ответ: Большее сопротивление имеет проводник длиной 60 см; его сопротивление в 6 раз больше, чем у проводника длиной 10 см.

3. Имеется два медных проводника одинаковой длины. У одного площадь поперечного сечения $\text{1 мм}^2$, у другого $\text{5 мм}^2$. У какого проводника сопротивление меньше и во сколько раз?

Дано

Материал проводников: медь ($\rho_1 = \rho_2 = \rho$)

Длина проводников: одинаковая ($l_1 = l_2 = l$)

Площадь поперечного сечения первого проводника: $S_1 = 1 \text{ мм}^2$

Площадь поперечного сечения второго проводника: $S_2 = 5 \text{ мм}^2$

Перевод в систему СИ:

$S_1 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$S_2 = 5 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

У какого проводника сопротивление меньше и во сколько раз?

Решение

Сопротивление проводника определяется по формуле: $R = \rho \frac{l}{S}$ где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина проводника, а $S$ — площадь его поперечного сечения.

Запишем формулы для сопротивления первого и второго проводников: $R_1 = \rho \frac{l}{S_1}$ $R_2 = \rho \frac{l}{S_2}$

Поскольку удельное сопротивление $\rho$ (материал — медь) и длина $l$ у обоих проводников одинаковы, сопротивление будет обратно пропорционально площади поперечного сечения. Это означает, что чем больше площадь сечения, тем меньше сопротивление.

Сравним площади сечения: $S_2 > S_1$ (так как $5 \text{ мм}^2 > 1 \text{ мм}^2$). Следовательно, сопротивление второго проводника будет меньше, чем сопротивление первого: $R_2 < R_1$.

Чтобы найти, во сколько раз сопротивление второго проводника меньше, найдем отношение их сопротивлений: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho \frac{l}{S_1}}{\rho \frac{l}{S_2}}$

Сократив одинаковые величины $\rho$ и $l$, получим: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{S_2}{S_1}$

Подставим числовые значения площадей: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{5 \text{ мм}^2}{1 \text{ мм}^2} = 5$

Таким образом, сопротивление первого проводника в 5 раз больше сопротивления второго, или, что то же самое, сопротивление второго проводника в 5 раз меньше сопротивления первого.

Ответ: Сопротивление меньше у проводника с площадью поперечного сечения 5 мм², оно в 5 раз меньше, чем у проводника с сечением 1 мм².

4. Имеется два проводника одинаковой площади поперечного сечения и длины. Один из меди, другой из вольфрама. Какой проводник имеет большее сопротивление и во сколько раз?

Дано:

Два проводника: один из меди (Cu), другой из вольфрама (W).

Длина проводников одинакова: $l_{Cu} = l_W = l$.

Площадь поперечного сечения проводников одинакова: $S_{Cu} = S_W = S$.

Удельное сопротивление меди (из справочных таблиц): $\rho_{Cu} = 0,017 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$.

Удельное сопротивление вольфрама (из справочных таблиц): $\rho_{W} = 0,055 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$.

Найти:

1. Какой проводник имеет большее сопротивление?

2. Во сколько раз сопротивление одного проводника больше другого? ($\frac{R_{большее}}{R_{меньшее}}$)

Решение:

Электрическое сопротивление проводника рассчитывается по формуле: $R = \rho \frac{l}{S}$ где $\rho$ — удельное электрическое сопротивление материала, $l$ — длина проводника, а $S$ — площадь его поперечного сечения.

Запишем выражения для сопротивления медного ($R_{Cu}$) и вольфрамового ($R_{W}$) проводников:

$R_{Cu} = \rho_{Cu} \frac{l}{S}$

$R_{W} = \rho_{W} \frac{l}{S}$

Поскольку по условию задачи длина $l$ и площадь поперечного сечения $S$ для обоих проводников одинаковы, то сопротивление зависит только от удельного сопротивления материала ($\rho$). Чем больше удельное сопротивление материала, тем больше сопротивление проводника.

Сравним удельные сопротивления меди и вольфрама: $\rho_{W} = 0,055 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

$\rho_{Cu} = 0,017 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

Так как $\rho_{W} > \rho_{Cu}$, то сопротивление вольфрамового проводника больше, чем сопротивление медного: $R_{W} > R_{Cu}$.

Чтобы определить, во сколько раз сопротивление вольфрамового проводника больше, найдем отношение их сопротивлений: $\frac{R_{W}}{R_{Cu}} = \frac{\rho_{W} \frac{l}{S}}{\rho_{Cu} \frac{l}{S}}$

Множитель $\frac{l}{S}$ в числителе и знаменателе сокращается, поэтому отношение сопротивлений равно отношению удельных сопротивлений: $\frac{R_{W}}{R_{Cu}} = \frac{\rho_{W}}{\rho_{Cu}}$

Подставим числовые значения удельных сопротивлений: $\frac{R_{W}}{R_{Cu}} = \frac{0,055}{0,017} \approx 3,24$

Ответ: большее сопротивление имеет вольфрамовый проводник; его сопротивление больше сопротивления медного проводника примерно в 3,24 раза.

5. Кусок проволоки без изоляции разрезали пополам и половинки свили вместе. Изменилось ли сопротивление проволоки и во сколько раз?

Дано:

Пусть первоначальная длина проволоки равна $L_1$, а площадь ее поперечного сечения равна $S_1$.

Материал проволоки имеет удельное сопротивление $\rho$.

Проволоку разрезали пополам, значит, длина каждой половинки стала $L' = \frac{L_1}{2}$.

Затем эти две половинки свили вместе. Это означает, что мы получили новый проводник, у которого:

Новая длина $L_2 = L' = \frac{L_1}{2}$.

Новая площадь поперечного сечения $S_2 = S_1 + S_1 = 2S_1$.

Найти:

Отношение первоначального сопротивления $R_1$ к новому сопротивлению $R_2$, чтобы определить, как и во сколько раз оно изменилось.

Решение:

Сопротивление проводника определяется по формуле: $R = \rho \frac{L}{S}$ где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $L$ — длина проводника, $S$ — площадь его поперечного сечения.

1. Первоначальное сопротивление целой проволоки было: $R_1 = \rho \frac{L_1}{S_1}$

2. После того как проволоку разрезали пополам и свили половинки вместе, получился новый проводник. Его длина стала в два раза меньше первоначальной, а площадь поперечного сечения — в два раза больше.

Новая длина: $L_2 = \frac{L_1}{2}$

Новая площадь поперечного сечения: $S_2 = 2S_1$

3. Новое сопротивление $R_2$ будет равно: $R_2 = \rho \frac{L_2}{S_2} = \rho \frac{L_1/2}{2S_1} = \rho \frac{L_1}{4S_1}$

4. Теперь найдем, во сколько раз изменилось сопротивление. Для этого разделим первоначальное сопротивление $R_1$ на новое сопротивление $R_2$: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\rho \frac{L_1}{S_1}}{\rho \frac{L_1}{4S_1}} = \frac{1}{1/4} = 4$

Таким образом, новое сопротивление $R_2$ в 4 раза меньше первоначального сопротивления $R_1$: $R_2 = \frac{R_1}{4}$

Ответ: Сопротивление проволоки изменилось, оно уменьшилось в 4 раза.

6. Сколько метров вольфрамового провода площадью поперечного сечения $0.1 \, \text{мм}^2$ потребуется для изготовления резистора сопротивлением $180 \, \text{Ом}$?

Дано:

Площадь поперечного сечения провода $S = 0,1 \text{ мм}^2$.

Сопротивление резистора $R = 180 \text{ Ом}$.

Материал провода — вольфрам. Удельное сопротивление вольфрама (табличное значение) $\rho = 5,5 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.

Перевод в систему СИ:

$S = 0,1 \text{ мм}^2 = 0,1 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 0,1 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 1 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2$.

Найти:

Длину провода $l$.

Решение:

Для нахождения длины провода воспользуемся формулой сопротивления проводника, которая связывает его геометрические размеры и материал: $$R = \rho \frac{l}{S}$$ где $R$ — сопротивление проводника, $\rho$ — удельное электрическое сопротивление материала, $l$ — длина проводника, а $S$ — площадь его поперечного сечения.

Чтобы найти длину провода $l$, необходимо выразить ее из этой формулы: $$l = \frac{R \cdot S}{\rho}$$

Теперь подставим известные значения, переведенные в систему СИ, в полученную формулу и произведем вычисления: $$l = \frac{180 \text{ Ом} \cdot 1 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2}{5,5 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}}$$

Выполним расчет: $$l = \frac{180}{5,5} \cdot \frac{10^{-7}}{10^{-8}} \text{ м} = \frac{180}{5,5} \cdot 10^{1} \text{ м} = \frac{1800}{5,5} \text{ м} \approx 327,27 \text{ м}$$

Округляя результат до десятых, получаем, что требуемая длина вольфрамового провода составляет примерно 327,3 метра.

Ответ: потребуется приблизительно $327,3 \text{ м}$ вольфрамового провода.

7. Провод стационарного телефона состоит из 20 медных проволочек площадью поперечного сечения 0,05 $mm^2$ каждая. Определите сопротивление 1,5 м такого провода.

Дано:

Число медных проволочек, $N = 20$

Площадь поперечного сечения одной проволочки, $S_1 = 0,05 \text{ мм}^2$

Длина провода, $l = 1,5 \text{ м}$

Материал провода - медь.

Для решения понадобится справочное значение удельного электрического сопротивления меди: $\rho \approx 0,017 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$.

Найти:

Сопротивление провода, $R$.

Решение:

Телефонный провод представляет собой кабель, в котором 20 тонких медных проволочек соединены параллельно. При таком соединении их общая площадь поперечного сечения $S$ равна сумме площадей поперечного сечения всех отдельных проволочек.

Вычислим общую площадь поперечного сечения провода:

$S = N \cdot S_1$

$S = 20 \cdot 0,05 \text{ мм}^2 = 1 \text{ мм}^2$

Сопротивление проводника определяется по формуле:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина проводника, а $S$ — площадь его поперечного сечения.

Подставим известные значения в формулу. Для удобства расчетов используем значение удельного сопротивления меди, выраженное в $\frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}$, так как площадь сечения у нас выражена в $\text{мм}^2$, а длина в $\text{м}$.

$R = 0,017 \frac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}} \cdot \frac{1,5 \text{ м}}{1 \text{ мм}^2} = 0,017 \cdot 1,5 \text{ Ом} = 0,0255 \text{ Ом}$

Ответ: сопротивление провода составляет $0,0255 \text{ Ом}$.

ЗАДАНИЕ

1. Придумайте несколько задач, используя данные таблицы 9. Обменяйтесь с товарищем условиями задач и решите их.

Для выполнения данного задания необходима "Таблица 9", которая не была предоставлена. В качестве примера, предположим, что "Таблица 9" содержит данные о плотности некоторых веществ, и на её основе составим и решим несколько задач.

Гипотетическая Таблица 9. Плотность некоторых веществ (при н.у.)

Ниже приведены примеры задач, составленных на основе данной таблицы.

Задача 1

Условие: Определите массу сплошного алюминиевого куба с длиной ребра 20 см.

Дано:

$ a = 20 \text{ см} $

$ \rho_{ал} = 2700 \text{ кг/м}^3 $ (из таблицы 9)

Перевод в СИ:

$ a = 0.2 \text{ м} $

Найти:

$ m $ - ?

Решение:

Масса тела определяется по формуле $ m = \rho \cdot V $, где $ \rho $ - плотность вещества, а $ V $ - его объем.

Сначала найдем объем куба. Объем куба с ребром $ a $ вычисляется по формуле:

$ V = a^3 $

Подставим значение длины ребра в метрах:

$ V = (0.2 \text{ м})^3 = 0.008 \text{ м}^3 $

Теперь, зная объем и плотность алюминия из таблицы, найдем массу куба:

$ m = \rho_{ал} \cdot V = 2700 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.008 \text{ м}^3 = 21.6 \text{ кг} $

Ответ: масса алюминиевого куба составляет 21.6 кг.

Задача 2

Условие: Стальной шар объемом 100 см³ полностью погружен в пресную воду. Будет ли он плавать на поверхности, находиться в равновесии в толще воды или утонет? Ответ обоснуйте, сравнив силу тяжести и выталкивающую силу.

Дано:

$ V = 100 \text{ см}^3 $

$ \rho_{ст} = 7800 \text{ кг/м}^3 $ (из таблицы 9)

$ \rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3 $ (из таблицы 9)

$ g \approx 9.8 \text{ Н/кг} $

Перевод в СИ:

$ V = 100 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 100 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 10^{-4} \text{ м}^3 $

Найти:

Сравнить $ F_{тяж} $ и $ F_{А} $, определить поведение тела.

Решение:

Для определения поведения тела в жидкости необходимо сравнить действующие на него силу тяжести $ F_{тяж} $ и выталкивающую силу (силу Архимеда) $ F_{А} $.

1. Вычислим силу тяжести, действующую на шар. Для этого сначала найдем его массу:

$ m = \rho_{ст} \cdot V = 7800 \text{ кг/м}^3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 0.78 \text{ кг} $

Теперь найдем силу тяжести:

$ F_{тяж} = m \cdot g = 0.78 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг} \approx 7.64 \text{ Н} $

2. Вычислим выталкивающую силу, действующую на шар. Она равна весу вытесненной жидкости:

$ F_{А} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{погр} $

Так как шар погружен полностью, объем погруженной части $ V_{погр} $ равен объему шара $ V $.

$ F_{А} = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ Н/кг} \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 0.98 \text{ Н} $

3. Сравним силы:

$ F_{тяж} \approx 7.64 \text{ Н} $, $ F_{А} = 0.98 \text{ Н} $.

Так как $ F_{тяж} > F_{А} $, равнодействующая сил направлена вниз, и шар утонет.

Также можно было просто сравнить плотности: так как плотность стали ($ 7800 \text{ кг/м}^3 $) больше плотности воды ($ 1000 \text{ кг/м}^3 $), тело утонет.

Ответ: шар утонет, так как действующая на него сила тяжести (7.64 Н) больше выталкивающей силы (0.98 Н).

Задача 3

Условие: Пробковый спасательный круг имеет объем 0.05 м³. Какую максимальную массу человека, находящегося в воде, он может удержать на плаву? Плотность человеческого тела считать примерно равной плотности воды.

Дано:

$ V_{круга} = 0.05 \text{ м}^3 $

$ \rho_{пр} = 240 \text{ кг/м}^3 $ (из таблицы 9)

$ \rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3 $ (из таблицы 9)

$ g \approx 9.8 \text{ Н/кг} $

Найти:

$ m_{чел} $ - ?

Решение:

Подъемная сила круга - это разность между максимальной выталкивающей силой (когда круг полностью погружен) и его собственной силой тяжести. Эта подъемная сила должна скомпенсировать вес груза (в данном случае, человека в воде).

1. Выталкивающая сила, действующая на полностью погруженный круг:

$ F_{А} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{круга} = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9.8 \text{ Н/кг} \cdot 0.05 \text{ м}^3 = 490 \text{ Н} $

2. Сила тяжести, действующая на сам круг:

$ F_{тяж(круга)} = m_{круга} \cdot g = (\rho_{пр} \cdot V_{круга}) \cdot g = (240 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.05 \text{ м}^3) \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 12 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ Н/кг} = 117.6 \text{ Н} $

3. Подъемная сила круга, которую он может предоставить для удержания груза:

$ F_{подъемная} = F_{А} - F_{тяж(круга)} = 490 \text{ Н} - 117.6 \text{ Н} = 372.4 \text{ Н} $

Эта подъемная сила может удержать на плаву груз с силой тяжести (весом), равной $ 372.4 \text{ Н} $. Найдем массу этого груза:

$ m_{груза} = \frac{F_{подъемная}}{g} = \frac{372.4 \text{ Н}}{9.8 \text{ Н/кг}} \approx 38 \text{ кг} $

Поскольку в условии сказано, что плотность тела человека примерно равна плотности воды, его вес в воде почти равен нулю (сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой). Таким образом, подъемная сила круга в 372.4 Н (эквивалентная массе 38 кг) является дополнительным запасом плавучести, который поможет человеку держаться на воде.

Ответ: спасательный круг может удержать на воде дополнительный груз массой около 38 кг.

2. Из металлической фольги изготовьте проводники с различным сопротивлением так, чтобы их сопротивления отличались в 2, 3, 5, 10 раз. Обоснуйте правильность выполнения задания.

Металлическая фольга (удельное сопротивление материала $\rho$ = const, толщина фольги $t$ = const).

Требуется изготовить проводники, сопротивления которых относятся к сопротивлению некоторого эталонного проводника как 2:1, 3:1, 5:1, 10:1.

Способ изготовления проводников с заданными отношениями сопротивлений и его обоснование.

Электрическое сопротивление проводника определяется формулой:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $\rho$ — удельное электрическое сопротивление материала, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь его поперечного сечения.

Так как все проводники изготавливаются из одной и той же металлической фольги, удельное сопротивление $\rho$ для них одинаково. Фольга имеет постоянную толщину $t$. Проводники можно изготовить, вырезав из фольги полоски прямоугольной формы. Для такой полоски длиной $l$ и шириной $w$ площадь поперечного сечения будет равна $S = w \cdot t$.

Подставив выражение для площади сечения в формулу сопротивления, получим:

$R = \rho \frac{l}{w \cdot t}$

Поскольку величины $\rho$ и $t$ являются постоянными для всех изготавливаемых проводников, их сопротивление $R$ зависит только от отношения длины $l$ к ширине $w$:

$R \propto \frac{l}{w}$

Чтобы получить проводники, сопротивления которых отличаются в заданное число раз, необходимо изменять их длину $l$ и/или ширину $w$. Рассмотрим два наиболее простых способа.

Способ 1: Изменение длины при постоянной ширине.

Выберем в качестве эталона проводник (полоску фольги) с некоторой длиной $l_0$ и шириной $w_0$. Его сопротивление будет равно $R_0 = \rho \frac{l_0}{w_0 \cdot t}$. Чтобы получить проводник с сопротивлением $R_k = k \cdot R_0$ (где $k = 2, 3, 5, 10$), необходимо, чтобы выполнялось условие:

$\rho \frac{l_k}{w_k \cdot t} = k \cdot \left(\rho \frac{l_0}{w_0 \cdot t}\right)$

Если мы сохраним ширину постоянной, то есть $w_k = w_0$, то из этого соотношения получим:

$\frac{l_k}{w_0} = k \cdot \frac{l_0}{w_0} \implies l_k = k \cdot l_0$

Таким образом, чтобы изготовить проводники с сопротивлениями, в 2, 3, 5 и 10 раз большими, чем у эталонного, нужно вырезать полоски одинаковой с эталоном ширины $w_0$, но с длинами $2l_0, 3l_0, 5l_0$ и $10l_0$ соответственно.

Способ 2: Изменение ширины при постоянной длине.

Аналогично, если сохранить длину постоянной ($l_k = l_0$), то для получения сопротивления $R_k = k \cdot R_0$ из соотношения $\frac{l_k}{w_k} = k \cdot \frac{l_0}{w_0}$ получим:

$\frac{l_0}{w_k} = k \cdot \frac{l_0}{w_0} \implies \frac{1}{w_k} = \frac{k}{w_0} \implies w_k = \frac{w_0}{k}$

Это означает, что можно изготовить проводники одинаковой длины $l_0$, но с шириной, в 2, 3, 5 и 10 раз меньшей, чем ширина эталонного проводника $w_0$.

Обоснование: Правильность обоих способов следует непосредственно из формулы сопротивления $R = \rho \frac{l}{S}$. Сопротивление проводника прямо пропорционально его длине $l$ и обратно пропорционально площади поперечного сечения $S$. Поскольку фольга однородна по материалу ($\rho=const$) и толщине ($t=const$), площадь поперечного сечения $S=w \cdot t$ прямо пропорциональна ширине полоски $w$. Следовательно, сопротивление $R$ прямо пропорционально отношению длины к ширине ($l/w$). Изменяя это отношение в $k$ раз, мы изменяем сопротивление также в $k$ раз.

Ответ: Чтобы изготовить проводники с сопротивлениями, отличающимися в 2, 3, 5 и 10 раз, следует вырезать из фольги прямоугольные полоски. Можно использовать один из двух подходов: 1) сделать все полоски одинаковой ширины, а их длины взять пропорциональными требуемым сопротивлениям (например, вырезать полоски длиной $l, 2l, 3l, 5l, 10l$); 2) сделать все полоски одинаковой длины, а их ширину взять обратно пропорциональной требуемым сопротивлениям (например, вырезать полоски шириной $w, w/2, w/3, w/5, w/10$). Обоснованием служит то, что сопротивление $R$ полоски из фольги ($R = \rho \frac{l}{w \cdot t}$) при постоянном удельном сопротивлении $\rho$ и толщине $t$ прямо пропорционально отношению длины к ширине $l/w$.