Номер 94, страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

94. Какое из уравнений есть уравнение некоторой окружности:

a) $x^2 + 1 = 4$;

б) $x^2 + y^2 = 4$;

в) $(x + y)^2 = 4$;

г) $x^2 - y^2 = 4$;

д) $x^2 + y^2 = 4xy?$;

Для определения, какое из уравнений является уравнением окружности, необходимо сравнить их с каноническим уравнением окружности. Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$. Частный случай, когда центр окружности находится в начале координат $(0, 0)$, описывается уравнением $x^2 + y^2 = r^2$. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) Уравнение $x^2 + 1 = 4$ можно преобразовать к виду $x^2 = 3$. Решениями этого уравнения являются $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$. На координатной плоскости эти уравнения задают две параллельные вертикальные прямые, а не окружность.

б) Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ в точности соответствует каноническому виду уравнения окружности с центром в начале координат $(0, 0)$. В данном случае $r^2 = 4$, следовательно, радиус окружности $r = 2$. Это уравнение является уравнением окружности.

в) Уравнение $(x + y)^2 = 4$ можно представить в виде двух уравнений: $x + y = 2$ и $x + y = -2$. Каждое из этих уравнений задает прямую линию. Таким образом, исходное уравнение описывает две параллельные прямые, а не окружность.

г) Уравнение $x^2 - y^2 = 4$ является каноническим уравнением гиперболы. Характерным признаком уравнения окружности является сумма квадратов координат $x$ и $y$ с одинаковыми коэффициентами, а в данном уравнении мы видим их разность.

д) Уравнение $x^2 + y^2 = 4xy$ после переноса всех членов в левую часть принимает вид $x^2 - 4xy + y^2 = 0$. Уравнение окружности в стандартном виде не содержит члена с произведением переменных $xy$. Следовательно, это не уравнение окружности. Это уравнение описывает пару прямых, проходящих через начало координат.

Таким образом, после анализа всех предложенных вариантов, мы приходим к выводу, что только уравнение из пункта б) является уравнением окружности.

Ответ: б)