Номер 89, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

89. Напишите уравнение окружности:

a)

$x^2 + y^2 = 4$

б)

$x^2 + y^2 = 9$

в)

$x^2 + y^2 = 16$

г)

$(x-1)^2 + y^2 = 1$

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Для нахождения уравнения каждой окружности необходимо определить координаты ее центра и длину радиуса по представленному графику.

а) Центр окружности находится в точке $C(1, -1)$, следовательно, $x_0 = 1$ и $y_0 = -1$. Радиус $R$ равен расстоянию от центра до любой точки на окружности. Из графика видно, что радиус равен 2 единичным отрезкам. Подставим эти значения в общую формулу уравнения окружности: $(x - 1)^2 + (y - (-1))^2 = 2^2$. После упрощения получаем уравнение: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$. Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$.

б) Центр окружности совпадает с началом координат, то есть находится в точке $O(0, 0)$. Таким образом, $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$. Радиус $R$ равен 3 единичным отрезкам, что видно из пересечения окружности с осями координат в точках $(3, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(0, -3)$. Подставляем значения в формулу: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 3^2$. Упрощенное уравнение имеет вид: $x^2 + y^2 = 9$. Ответ: $x^2 + y^2 = 9$.

в) Центр окружности расположен в точке $C(-2, 1)$, поэтому $x_0 = -2$ и $y_0 = 1$. Радиус $R$ этой окружности равен 3 единичным отрезкам. Подставляем значения в стандартную формулу: $(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = 3^2$. После упрощения получаем: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$. Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$.

г) Центр данной окружности находится в точке $C(1, 2)$, значит $x_0 = 1$ и $y_0 = 2$. Радиус $R$ окружности равен 2 единичным отрезкам. Подставляем эти значения в общую формулу: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$. В результате получаем следующее уравнение: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$. Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$.