Номер 93, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

93. Какое из уравнений является уравнением некоторой прямой:

а) $x + y = 4$;

б) $|x + y| = 4$;

в) $(x + y)^2 = 4$;

г) $x^2 - y^2 = 4$;

д) $x + y = 4xy?`

Общее уравнение прямой на плоскости в декартовых координатах имеет вид $Ax + By + C = 0$, где $A$ и $B$ — числовые коэффициенты, причем хотя бы один из них не равен нулю, а $C$ — свободный член. Важнейшим свойством такого уравнения является то, что переменные $x$ и $y$ входят в него в первой степени. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) $x + y = 4$
Это уравнение является линейным, так как переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени. Оно полностью соответствует общему виду уравнения прямой, где $A=1$, $B=1$, $C=-4$. Его можно преобразовать к виду $y = -x + 4$, что является уравнением прямой с угловым коэффициентом $k=-1$ и точкой пересечения с осью ординат $(0, 4)$.
Ответ: является уравнением прямой.

б) $|x + y| = 4$
Наличие модуля означает, что выражение $x+y$ может быть равно как $4$, так и $-4$. Таким образом, это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $x + y = 4$, что является уравнением прямой $y = -x + 4$.
2) $x + y = -4$, что является уравнением прямой $y = -x - 4$.
Графиком исходного уравнения является объединение этих двух параллельных прямых, а не одна единственная прямая.
Ответ: не является уравнением одной прямой.

в) $(x + y)^2 = 4$
Чтобы упростить это уравнение, извлечем квадратный корень из обеих частей: $\sqrt{(x+y)^2} = \sqrt{4}$, что дает $|x+y|=2$. Аналогично предыдущему пункту, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $x + y = 2$ (прямая $y = -x + 2$).
2) $x + y = -2$ (прямая $y = -x - 2$).
Следовательно, графиком является пара параллельных прямых.
Ответ: не является уравнением одной прямой.

г) $x^2 - y^2 = 4$
В этом уравнении переменные $x$ и $y$ возведены во вторую степень. Это каноническое уравнение гиперболы, которое можно записать как $\frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{2^2} = 1$. Графиком является кривая второго порядка, а не прямая линия.
Ответ: не является уравнением прямой.

д) $x + y = 4xy$
Это уравнение является нелинейным, так как содержит член $xy$, в котором переменные перемножаются. Для анализа преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$:
$y - 4xy = -x$
$y(1 - 4x) = -x$
$y = \frac{-x}{1 - 4x} = \frac{x}{4x - 1}$
Это уравнение дробно-рациональной функции, график которой — гипербола, а не прямая.
Ответ: не является уравнением прямой.

Таким образом, проанализировав все варианты, мы приходим к выводу, что единственным уравнением, которое является уравнением некоторой прямой, является уравнение а) $x+y=4$.