Номер 415, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 415, страница 85.

Условие 2023.

415. Через точку $O$, принадлежащую данному углу, проведите отрезок, концы которого принадлежат сторонам данного угла и который делится точкой $O$:

1) пополам;

2) в отношении $2 : 3$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) пополам

Пусть дан угол с вершиной в точке V и стороны которого лежат на лучах $a$ и $b$. Пусть O — точка внутри этого угла. Требуется построить отрезок AB (где A лежит на луче $a$, а B — на луче $b$) так, чтобы точка O была его серединой.

Построение:

1. Соединим вершину угла V с точкой O.
2. На продолжении отрезка VO за точку O отложим отрезок OP, равный отрезку VO. Таким образом, точка O будет являться серединой отрезка VP.
3. Через точку P проведем прямую, параллельную стороне $a$ угла. Точку пересечения этой прямой со стороной $b$ обозначим B.
4. Через точку P проведем прямую, параллельную стороне $b$ угла. Точку пересечения этой прямой со стороной $a$ обозначим A. (В качестве альтернативы, можно просто соединить точки B и O и продлить до пересечения со стороной $a$ в точке A).
5. Отрезок AB является искомым.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник VAPB. По построению, сторона VA параллельна стороне BP (так как BP лежит на прямой, параллельной VA), и сторона VB параллельна стороне AP (так как AP лежит на прямой, параллельной VB). Следовательно, четырехугольник VAPB является параллелограммом по определению.

Диагонали параллелограмма (в нашем случае это отрезки VP и AB) пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. По построению, точка O является серединой диагонали VP. Следовательно, точка O также является серединой диагонали AB, что и требовалось доказать.

Ответ: искомый отрезок строится на основе диагоналей параллелограмма VAPB, где P — точка, симметричная вершине угла V относительно точки O.

2) в отношении 2 : 3

Пусть дан угол с вершиной в точке V и стороны которого лежат на лучах $a$ и $b$. Пусть O — точка внутри этого угла. Требуется построить отрезок AB (где A лежит на луче $a$, а B — на луче $b$) так, чтобы точка O делила его в отношении $AO:OB = 2:3$.

Построение:

1. Через точку O проведем прямую, параллельную лучу $a$. Пусть она пересечет луч $b$ в некоторой точке D.
2. Теперь на луче $b$ нужно найти такую точку B, чтобы отрезок VD относился к отрезку DB как $2:3$. Для этого можно использовать теорему Фалеса.
3. Проведем из вершины V произвольный вспомогательный луч $c$, не совпадающий с $a$ и $b$.
4. На луче $c$ отложим от точки V пять равных между собой отрезков произвольной длины: $VK_1 = K_1K_2 = K_2K_3 = K_3K_4 = K_4K_5$.
5. Соединим точку $K_2$ с точкой D.
6. Через точку $K_5$ проведем прямую, параллельную отрезку $K_2D$. Точка пересечения этой прямой с лучом $b$ и будет искомой точкой B.
7. Соединим точки B и O и продлим этот отрезок до пересечения с лучом $a$. Точку пересечения обозначим A.
8. Отрезок AB является искомым.

Доказательство:

Рассмотрим угол, образованный лучами $b$ и $c$. Прямые $K_2D$ и $K_5B$ параллельны по построению и пересекают стороны этого угла. По обобщенной теореме Фалеса, они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки: $VD/VB = VK_2/VK_5$.

Так как $VK_2$ состоит из 2 равных частей, а $VK_5$ — из 5 таких же частей, то $VK_2/VK_5 = 2/5$. Следовательно, $VD/VB = 2/5$. Из этого соотношения следует, что $VD/(VB-VD) = 2/(5-2)$, то есть $VD/DB = 2/3$.

Теперь рассмотрим угол AVB и секущую AB. По построению, прямая OD параллельна стороне VA. По теореме о пропорциональных отрезках (теорема Фалеса) для треугольника AVB и прямой OD, имеем: $AO/OB = VD/DB$.

Поскольку мы доказали, что $VD/DB = 2/3$, то и $AO/OB = 2/3$. Таким образом, отрезок AB делится точкой O в заданном отношении.

Примечание: если бы требовалось разделить отрезок в отношении $AO:OB = 3:2$, то при построении точку D следовало бы соединить с точкой $K_3$, а параллельную прямую проводить через $K_5$.

Ответ: искомый отрезок строится с использованием теоремы Фалеса.

Условие 2015-2022.

415. Через точку $O$, принадлежащую данному углу, проведите отрезок, концы которого принадлежат сторонам данного угла и который делится точкой $O$:
1) пополам;
2) в отношении $2 : 3$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).