Номер 408, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 408, страница 85.

Условие 2023.

408. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 60 см, а центр вписанной окружности делит медиану, проведённую к основанию, в отношении $12:5$. Найдите основание треугольника.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = 60$ см, а $AC$ — основание.

Проведём медиану $BM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Это означает, что $BM$ является биссектрисой угла $\angle ABC$ и $BM \perp AC$.

Центр вписанной окружности $O$ является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Поскольку $BM$ — биссектриса, то центр $O$ лежит на отрезке $BM$.

По условию, точка $O$ делит медиану $BM$ в отношении $12 : 5$, считая от вершины $B$. Таким образом, получаем соотношение: $$ \frac{BO}{OM} = \frac{12}{5} $$

Рассмотрим треугольник $ABM$. Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAM$, так как $O$ — центр вписанной окружности, а значит, лежит на биссектрисах всех углов треугольника $ABC$.

Применим к треугольнику $ABM$ свойство биссектрисы угла. Биссектриса $AO$ делит противолежащую сторону $BM$ на отрезки $BO$ и $OM$, пропорциональные прилежащим сторонам $AB$ и $AM$: $$ \frac{BO}{OM} = \frac{AB}{AM} $$

Мы знаем, что $AB = 60$ см и $\frac{BO}{OM} = \frac{12}{5}$. Подставим эти значения в полученную формулу: $$ \frac{12}{5} = \frac{60}{AM} $$

Выразим $AM$ из этой пропорции: $$ 12 \cdot AM = 5 \cdot 60 $$ $$ 12 \cdot AM = 300 $$ $$ AM = \frac{300}{12} $$ $$ AM = 25 \text{ см} $$

Так как $BM$ является медианой, точка $M$ — середина основания $AC$. Следовательно, длина основания равна удвоенной длине отрезка $AM$: $$ AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 25 = 50 \text{ см} $$

Ответ: 50 см.

Условие 2015-2022.

408. В равнобедренном треугольнике $DEF$ провели высоту $EC$ к его основанию и на боковой стороне $EF$ отметили точку $A$. Отрезки $EC$ и $DA$ пересекаются в точке $O$, причём $AO : OD = 3 : 8$. Найдите отношение $EA : AF$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).