Номер 411, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 411, страница 85.

Условие 2023.

411. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $BM : MC = 3 : 10$. В каком отношении отрезок $AM$ делит медиану $BK$ треугольника $ABC$?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть отрезок 𝐴𝑀 и медиана 𝐵𝐾 пересекаются в точке 𝑃. Требуется найти отношение 𝐵𝑃 : 𝑃𝐾.

Для решения задачи можно использовать несколько методов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Метод подобных треугольников (с дополнительным построением)

1. Проведем через точку 𝐾 прямую, параллельную отрезку 𝐴𝑀. Пусть эта прямая пересечет сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐿. Таким образом, по построению 𝐾𝐿 || 𝐴𝑀.

2. Рассмотрим треугольник 𝐴𝑀𝐶. Так как 𝐵𝐾 — медиана, точка 𝐾 является серединой стороны 𝐴𝐶. Поскольку 𝐾 — середина 𝐴𝐶 и 𝐾𝐿 || 𝐴𝑀, то по теореме о средней линии треугольника (или по теореме Фалеса), отрезок 𝐾𝐿 является средней линией треугольника 𝐴𝑀𝐶. Следовательно, точка 𝐿 является серединой отрезка 𝑀𝐶. Отсюда $𝑀𝐿 = 𝐿𝐶$.

3. Согласно условию задачи, $𝐵𝑀 : 𝑀𝐶 = 3 : 10$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $𝐵𝑀 = 3x$, а $𝑀𝐶 = 10x$. Так как 𝐿 — середина 𝑀𝐶, то $𝑀𝐿 = \frac{1}{2} 𝑀𝐶 = \frac{1}{2}(10x) = 5x$.

4. Теперь рассмотрим треугольник 𝐵𝐾𝐿. Отрезок 𝑃𝑀 является частью прямой 𝐴𝑀, а по нашему построению 𝐴𝑀 || 𝐾𝐿. Значит, 𝑃𝑀 || 𝐾𝐿. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), прямая 𝑃𝑀, параллельная стороне 𝐾𝐿 треугольника 𝐵𝐾𝐿, делит стороны 𝐵𝐾 и 𝐵𝐿 в одинаковом отношении:

$ \frac{BP}{PK} = \frac{BM}{ML} $

5. Подставим найденные длины отрезков в это соотношение:

$ \frac{BP}{PK} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5} $

Таким образом, точка 𝑃 делит медиану 𝐵𝐾 в отношении 3 к 5, считая от вершины 𝐵.

Способ 2: Применение теоремы Менелая

1. Рассмотрим треугольник 𝐵𝐾𝐶 и секущую 𝐴𝑃𝑀. Эта секущая пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝑀, сторону 𝐵𝐾 в точке 𝑃 и продолжение стороны 𝐾𝐶 в точке 𝐴.

2. Согласно теореме Менелая для треугольника 𝐵𝐾𝐶 и секущей 𝐴𝑃𝑀, произведение отношений отрезков, на которые секущая делит стороны (или их продолжения), равно единице:

$ \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CA}{AK} \cdot \frac{KP}{PB} = 1 $

3. Определим значения этих отношений из условия задачи:

- Дано, что $𝐵𝑀 : 𝑀𝐶 = 3 : 10$, значит $ \frac{BM}{MC} = \frac{3}{10} $.

- 𝐵𝐾 — медиана, поэтому 𝐾 — середина стороны 𝐴𝐶. Это означает, что $𝐴𝐶 = 2 \cdot 𝐴𝐾$. Следовательно, $ \frac{CA}{AK} = \frac{2 \cdot AK}{AK} = 2 $.

4. Подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$ \frac{3}{10} \cdot 2 \cdot \frac{KP}{PB} = 1 $

$ \frac{6}{10} \cdot \frac{KP}{PB} = 1 $

$ \frac{3}{5} \cdot \frac{KP}{PB} = 1 $

5. Из этого уравнения выразим отношение $ \frac{KP}{PB} $:

$ \frac{KP}{PB} = \frac{5}{3} $

Искомое отношение — это $ \frac{BP}{PK} $, которое является обратным к найденному:

$ \frac{BP}{PK} = \frac{3}{5} $

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: Отрезок 𝐴𝑀 делит медиану 𝐵𝐾 в отношении 3 : 5, считая от вершины 𝐵.

Условие 2015-2022.

411. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $BM : MC = 3 : 10$. В каком отношении отрезок $AM$ делит медиану $BK$ треугольника $ABC$?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).