Номер 418, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 418, страница 86.

Условие 2023.

418. На сторонах угла $A$ отмечены точки $B_1, B_2, C_1, C_2$ так, что $ \frac{AB_1}{B_1B_2} = \frac{AC_1}{C_1C_2} $ (рис. 139). Докажите, что $B_1C_1 \parallel B_2C_2$.

Рис. 139

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Для доказательства того, что отрезки $B_1C_1$ и $B_2C_2$ параллельны, мы воспользуемся признаком подобия треугольников. Рассмотрим треугольники $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle AB_2C_2$.

1. У этих треугольников есть общий угол $\angle A$.

2. Теперь покажем, что стороны, образующие этот угол, пропорциональны. По условию задачи нам дано соотношение:

$$ \frac{AB_1}{B_1B_2} = \frac{AC_1}{C_1C_2} $$

Так как точки $B_1$ и $C_1$ лежат между $A, B_2$ и $A, C_2$ соответственно, то $AB_2 = AB_1 + B_1B_2$ и $AC_2 = AC_1 + C_1C_2$.

Преобразуем данное в условии равенство. Сначала возьмем обратные дроби:

$$ \frac{B_1B_2}{AB_1} = \frac{C_1C_2}{AC_1} $$

Прибавим к обеим частям равенства единицу:

$$ \frac{B_1B_2}{AB_1} + 1 = \frac{C_1C_2}{AC_1} + 1 $$

Приведем к общему знаменателю в каждой части:

$$ \frac{B_1B_2 + AB_1}{AB_1} = \frac{C_1C_2 + AC_1}{AC_1} $$

Учитывая, что $AB_1 + B_1B_2 = AB_2$ и $AC_1 + C_1C_2 = AC_2$, подставим эти значения в числители:

$$ \frac{AB_2}{AB_1} = \frac{AC_2}{AC_1} $$

Это равенство показывает, что стороны треугольника $AB_2C_2$ пропорциональны сторонам треугольника $AB_1C_1$. Для удобства применения признака подобия, перевернем дроби еще раз:

$$ \frac{AB_1}{AB_2} = \frac{AC_1}{AC_2} $$

3. Мы показали, что у треугольников $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle AB_2C_2$ есть общий угол $\angle A$ и стороны, образующие этот угол, пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle AB_1C_1 \sim \triangle AB_2C_2$.

4. Из подобия треугольников следует равенство их соответственных углов:

$$ \angle AB_1C_1 = \angle AB_2C_2 $$

Углы $\angle AB_1C_1$ и $\angle AB_2C_2$ являются соответственными при пересечении прямых $B_1C_1$ и $B_2C_2$ секущей $AB_2$. Так как эти соответственные углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $B_1C_1$ параллельна прямой $B_2C_2$.

Ответ: Что и требовалось доказать, $B_1C_1 \parallel B_2C_2$.

Условие 2015-2022.

418. На сторонах угла $A$ отмечены точки $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$ так, что $\frac{AB_1}{B_1B_2} = \frac{AC_1}{C_1C_2}$ (рис. 127). Докажите, что $B_1C_1 \parallel B_2C_2$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).