Номер 412, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 412, страница 85.

Условие 2023.

412. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $AM : MB = 4 : 3$. В каком отношении медиана $BK$:

1) делит отрезок $CM$;

2) делится отрезком $CM$?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан треугольник $ABC$. На стороне $AB$ отмечена точка $M$ так, что $AM:MB = 4:3$. $BK$ - медиана, следовательно, точка $K$ является серединой стороны $AC$, то есть $AK=KC$. Пусть отрезки $CM$ и $BK$ пересекаются в точке $O$.

1) В каком отношении медиана BK делит отрезок CM?

В этом пункте необходимо найти отношение $CO:OM$. Для решения воспользуемся теоремой Менелая для треугольника $AMC$ и секущей $BOK$. Теорема гласит:

$$ \frac{AB}{BM} \cdot \frac{MO}{OC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1 $$

Найдем значения отношений, входящих в формулу:

Из условия $AM:MB = 4:3$. Пусть $AM = 4x$, тогда $MB = 3x$. Вся сторона $AB = AM + MB = 4x + 3x = 7x$.

Следовательно, отношение $ \frac{AB}{BM} = \frac{7x}{3x} = \frac{7}{3} $.

Поскольку $BK$ - медиана, $K$ - середина $AC$, то $AK = KC$.

Следовательно, отношение $ \frac{CK}{KA} = 1 $.

Подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$$ \frac{7}{3} \cdot \frac{MO}{OC} \cdot 1 = 1 $$

Из этого уравнения находим отношение $ \frac{MO}{OC} $:

$$ \frac{MO}{OC} = \frac{3}{7} $$

Таким образом, медиана $BK$ делит отрезок $CM$ в отношении $CO:OM = 7:3$, считая от вершины $C$.

Ответ: $7:3$.

2) В каком отношении делится отрезком CM?

В этом пункте необходимо найти, в каком отношении отрезок $CM$ делит медиану $BK$, то есть найти отношение $BO:OK$. Для этого воспользуемся теоремой Менелая для треугольника $ABK$ и секущей $MOC$. Теорема гласит:

$$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BO}{OK} \cdot \frac{KC}{CA} = 1 $$

Найдем значения отношений, входящих в формулу:

Из условия $ \frac{AM}{MB} = \frac{4}{3} $.

Поскольку $K$ - середина $AC$, то $AC = AK + KC = 2KC$.

Следовательно, отношение $ \frac{KC}{CA} = \frac{KC}{2KC} = \frac{1}{2} $.

Подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$$ \frac{4}{3} \cdot \frac{BO}{OK} \cdot \frac{1}{2} = 1 $$

$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{BO}{OK} = 1 $$

Из этого уравнения находим искомое отношение:

$$ \frac{BO}{OK} = \frac{3}{2} $$

Таким образом, отрезок $CM$ делит медиану $BK$ в отношении $BO:OK = 3:2$, считая от вершины $B$.

Ответ: $3:2$.

Условие 2015-2022.

412. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$ так, что $AM : MB = 4 : 3$. В каком отношении медиана $BK$:1) делит отрезок $CM$; 2) делится отрезком $CM$?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).