Номер 407, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 407, страница 85.

Условие 2023.

407. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, равна 42 см, а основание относится к боковой стороне как 6 : 11. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник, $a$ - его основание, $b$ - боковая сторона, $h$ - высота, проведённая к основанию.По условию задачи $h = 42$ см, а отношение основания к боковой стороне $a : b = 6 : 11$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длина основания $a = 6x$, а длина боковой стороны $b = 11x$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Она делит основание на два равных отрезка длиной $a/2$. Эта высота, половина основания и боковая сторона образуют прямоугольный треугольник.Катеты этого треугольника: высота $h = 42$ и половина основания $\frac{a}{2} = \frac{6x}{2} = 3x$.Гипотенуза: боковая сторона $b = 11x$.

По теореме Пифагора:$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$$42^2 + (3x)^2 = (11x)^2$$1764 + 9x^2 = 121x^2$$121x^2 - 9x^2 = 1764$$112x^2 = 1764$$x^2 = \frac{1764}{112} = \frac{441 \times 4}{28 \times 4} = \frac{441}{28} = \frac{63 \times 7}{4 \times 7} = \frac{63}{4}$$x = \sqrt{\frac{63}{4}} = \frac{\sqrt{9 \times 7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$

Теперь найдем длины сторон треугольника:Основание $a = 6x = 6 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{2} = 9\sqrt{7}$ см.Боковая сторона $b = 11x = 11 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{2} = \frac{33\sqrt{7}}{2}$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

Найдем площадь треугольника $S$:$S = \frac{1}{2} a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 9\sqrt{7} \cdot 42 = 9\sqrt{7} \cdot 21 = 189\sqrt{7}$ см$^2$.

Найдем периметр $P$ и полупериметр $p$:$P = a + 2b = 9\sqrt{7} + 2 \cdot \frac{33\sqrt{7}}{2} = 9\sqrt{7} + 33\sqrt{7} = 42\sqrt{7}$ см.$p = \frac{P}{2} = \frac{42\sqrt{7}}{2} = 21\sqrt{7}$ см.

Теперь вычислим радиус вписанной окружности $r$:$r = \frac{S}{p} = \frac{189\sqrt{7}}{21\sqrt{7}} = \frac{189}{21} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

Условие 2015-2022.

407. Точка $D$ – середина основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. На стороне $AB$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 2 : 7$. В каком отношении прямая $BD$ делит отрезок $CM$?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).