Номер 401, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 401, страница 84.

Условие 2023.

401. Докажите, что если две медианы треугольника равны, то этот треугольник – равнобедренный.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены две медианы $AM$ к стороне $BC$ и $BN$ к стороне $AC$. По условию задачи, эти медианы равны: $AM = BN$. Требуется доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, то есть что стороны $AC$ и $BC$ равны.

1. Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке (называемой центроидом), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим точку пересечения медиан $AM$ и $BN$ буквой $O$.

2. Согласно свойству точки пересечения медиан, для медианы $AM$ справедливы равенства: $AO = \frac{2}{3}AM$ и $OM = \frac{1}{3}AM$. Аналогично для медианы $BN$: $BO = \frac{2}{3}BN$ и $ON = \frac{1}{3}BN$.

3. По условию нам дано, что $AM = BN$. Используя это равенство, мы можем заключить, что соответствующие части медиан также равны:
$AO = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}BN = BO$
$OM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}BN = ON$

4. Теперь рассмотрим два треугольника: $\triangle AON$ и $\triangle BOM$. В этих треугольниках:
- $AO = BO$ (доказано в предыдущем пункте).
- $ON = OM$ (доказано в предыдущем пункте).
- $\angle AON = \angle BOM$ (как вертикальные углы).

5. Следовательно, $\triangle AON = \triangle BOM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

6. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В нашем случае это означает, что $AN = BM$.

7. По определению медианы, точка $N$ является серединой стороны $AC$, а точка $M$ — серединой стороны $BC$. Таким образом, $AC = 2 \cdot AN$ и $BC = 2 \cdot BM$.

8. Так как мы установили, что $AN = BM$, то отсюда следует, что $2 \cdot AN = 2 \cdot BM$, а значит $AC = BC$.

9. Поскольку в треугольнике $ABC$ две стороны ($AC$ и $BC$) равны, он является равнобедренным по определению.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в треугольнике две медианы равны, то стороны, к которым проведены эти медианы, также равны (в нашем случае это стороны $AC$ и $BC$), следовательно, такой треугольник является равнобедренным.

Условие 2015-2022.

401. Докажите, что если две медианы треугольника равны, то этот треугольник – равнобедренный.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).