Номер 397, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 397, страница 84.

Условие 2023.

397. Основания трапеции равны 12 см и 22 см. Найдите отрезки, на которые диагонали трапеции делят её среднюю линию.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, меньшее основание $BC = 12$ см, а большее основание $AD = 22$ см.

Проведем среднюю линию $MN$, где точка $M$ лежит на боковой стороне $AB$, а точка $N$ — на боковой стороне $CD$. По определению, $M$ и $N$ являются серединами боковых сторон.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекают среднюю линию $MN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Таким образом, средняя линия $MN$ делится на три отрезка: $MP$, $PQ$ и $QN$.

Найдем длину отрезка MP

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$. Так как средняя линия трапеции $MN$ параллельна ее основаниям, то $MP \parallel BC$. По свойству средней линии треугольника (или по теореме Фалеса), отрезок $MP$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$. Его длина равна половине длины основания $BC$.

$MP = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Найдем длину отрезка QN

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Точка $N$ является серединой стороны $CD$. Так как $MN \parallel BC$, то $QN \parallel BC$. По свойству средней линии треугольника, отрезок $QN$ является средней линией треугольника $\triangle BCD$ (поскольку он соединяет середины сторон $CD$ и $BD$). Его длина также равна половине длины основания $BC$.

$QN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Найдем длину отрезка PQ

Сначала найдем полную длину средней линии трапеции $MN$. Она равна полусумме оснований:

$MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{12 + 22}{2} = \frac{34}{2} = 17$ см.

Длина центрального отрезка $PQ$ равна разности между полной длиной средней линии и длинами двух крайних отрезков:

$PQ = MN - MP - QN = 17 - 6 - 6 = 5$ см.

Также можно было найти длину отрезка $MQ$. В треугольнике $\triangle ABD$ отрезок $MQ$ является средней линией, так как $M$ — середина $AB$, а $MQ \parallel AD$. Следовательно, $MQ = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 22 = 11$ см. Тогда $PQ = MQ - MP = 11 - 6 = 5$ см.

Таким образом, диагонали делят среднюю линию на три отрезка.

Ответ: 6 см, 5 см, 6 см.

Условие 2015-2022.

397. Основания трапеции равны 12 см и 22 см. Найдите отрезки, на которые диагонали трапеции делят её среднюю линию.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).