Номер 394, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 394, страница 84.

Условие 2023.

394. Докажите, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Доказательство

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причём $AD || BC$. Пусть $MN$ – средняя линия этой трапеции, где точка $M$ является серединой боковой стороны $AB$, а точка $N$ – серединой боковой стороны $CD$. По определению, $AM = MB$ и $CN = ND$.

По свойству средней линии трапеции, она параллельна её основаниям, то есть $MN || AD$ и $MN || BC$.

Рассмотрим диагональ $AC$. Пусть она пересекает среднюю линию $MN$ в точке $K$. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В этом треугольнике точка $M$ – середина стороны $AB$. Отрезок $MK$ является частью прямой $MN$, а так как $MN || BC$, то и $MK || BC$.

Согласно теореме, если через середину одной стороны треугольника провести прямую, параллельную другой стороне, то эта прямая пересечёт третью сторону в её середине. В нашем случае, прямая $MK$ проходит через середину стороны $AB$ ($M$) и параллельна стороне $BC$, следовательно, она пересекает сторону $AC$ в её середине. Таким образом, точка $K$ является серединой диагонали $AC$, то есть $AK = KC$.

Теперь рассмотрим диагональ $BD$. Пусть она пересекает среднюю линию $MN$ в точке $L$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. В этом треугольнике точка $M$ – середина стороны $AB$. Отрезок $ML$ является частью прямой $MN$, а так как $MN || AD$, то и $ML || AD$.

По той же теореме, прямая $ML$ проходит через середину стороны $AB$ ($M$) и параллельна стороне $AD$, следовательно, она пересекает сторону $BD$ в её середине. Таким образом, точка $L$ является серединой диагонали $BD$, то есть $BL = LD$.

Мы доказали, что средняя линия трапеции пересекает каждую из её диагоналей в их серединах. Следовательно, средняя линия трапеции делит её диагонали пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

394. Докажите, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).