Номер 388, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 388, страница 83.

Условие 2023.

388. Расстояние от середины хорды $BC$ до диаметра $AC$ равно 3 см, $\angle BAC = 30^{\circ}$. Найдите хорду $AB$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку $AC$ является диаметром окружности, то вписанный угол $\angle ABC$, опирающийся на этот диаметр, является прямым. Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный с гипотенузой $AC$ и $\angle ABC = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$. Зная, что $\angle BAC = 30^\circ$, найдем угол $\angle BCA$:
$\angle BCA = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Пусть $M$ — середина хорды $BC$. По условию, расстояние от точки $M$ до диаметра $AC$ равно 3 см. Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $AC$. Тогда $MH \perp AC$ и $MH = 3$ см.

Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на гипотенузу $AC$. Таким образом, $BK \perp AC$. Поскольку $MH \perp AC$ и $BK \perp AC$, то прямые $MH$ и $BK$ параллельны ($MH \parallel BK$).

Рассмотрим треугольник $BKC$. В нем $M$ является серединой стороны $BC$, и через нее проведена прямая $MH$, параллельная стороне $BK$. По свойству средней линии треугольника (или по теореме Фалеса), отрезок $MH$ является средней линией треугольника $BKC$. Значит, длина $MH$ равна половине длины $BK$:
$MH = \frac{1}{2} BK$.

Отсюда можем найти длину высоты $BK$:
$BK = 2 \cdot MH = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ (поскольку $BK \perp AC$, то $\angle AKB = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны угол $\angle BAK = 30^\circ$ и длина противолежащего катета $BK = 6$ см.

Для нахождения гипотенузы $AB$ воспользуемся определением синуса угла:
$\sin(\angle BAK) = \frac{BK}{AB}$.
$\sin(30^\circ) = \frac{6}{AB}$.
Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2} = \frac{6}{AB}$.
Отсюда $AB = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

Условие 2015-2022.

388. Расстояние от середины хорды $BC$ до диаметра $AC$ равно 3 см, $\angle BAC = 30^\circ$. Найдите хорду $AB$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).