Номер 381, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 381, страница 83.

Условие 2023.

381. Докажите, что средняя линия треугольника $ABC$, параллельная стороне $AC$, делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину $B$ с произвольной точкой стороны $AC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Дано:

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть $MN$ – его средняя линия, параллельная стороне $AC$. По определению средней линии, точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ – серединой стороны $BC$.

Пусть $D$ – произвольная точка на стороне $AC$.

Проведем отрезок $BD$, который соединяет вершину $B$ с точкой $D$.

Пусть $O$ – точка пересечения средней линии $MN$ и отрезка $BD$.

Доказать:

Точка $O$ делит отрезок $BD$ пополам, то есть $BO = OD$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABD$.

1. Точка $M$ является серединой стороны $AB$ по определению средней линии треугольника $ABC$.

2. По свойству средней линии, $MN || AC$. Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$, то прямая $AC$ совпадает с прямой $AD$. Следовательно, $MN || AD$. Отрезок $MO$ является частью прямой $MN$, поэтому $MO || AD$.

3. Таким образом, в треугольнике $ABD$ через середину стороны $AB$ (точку $M$) проходит прямая $MO$, которая параллельна стороне $AD$.

4. По теореме Фалеса (а точнее, по следствию из нее: если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна второй стороне, то она пересекает третью сторону в ее середине), прямая $MO$ пересекает третью сторону $BD$ в ее середине.

5. Следовательно, точка $O$ является серединой отрезка $BD$, а это значит, что $BO = OD$.

Поскольку точка $D$ была выбрана на стороне $AC$ произвольно, мы доказали, что средняя линия $MN$ делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину $B$ с произвольной точкой стороны $AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

381. Докажите, что средняя линия треугольника $ABC$, параллельная стороне $AC$, делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину $B$ с произвольной точкой стороны $AC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).