Номер 384, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 384, страница 83.

Условие 2023.

384. Медиана $CD$ треугольника $ABC$ равна 9 см. Найдите отрезки $CO$ и $OD$, где $O$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ проведена медиана $CD$, длина которой составляет 9 см. Точка $O$ является точкой пересечения медиан этого треугольника. Необходимо найти длины отрезков $CO$ и $OD$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством медиан треугольника. Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

В нашем случае точка $O$ делит медиану $CD$ на два отрезка: $CO$ (отрезок от вершины $C$ до точки пересечения $O$) и $OD$ (отрезок от точки пересечения $O$ до стороны $AB$). Согласно свойству, их отношение равно:
$\frac{CO}{OD} = \frac{2}{1}$

Это означает, что отрезок $CO$ в два раза длиннее отрезка $OD$. Всю медиану $CD$ можно представить как сумму этих двух отрезков: $CD = CO + OD$. Если принять длину отрезка $OD$ за $x$, то длина отрезка $CO$ будет равна $2x$. Тогда вся медиана $CD$ будет равна $x + 2x = 3x$.

Нам известно, что $CD = 9$ см. Составим и решим уравнение:
$3x = 9$
$x = \frac{9}{3}$
$x = 3$ см

Таким образом, мы нашли длину одной "части", которая соответствует отрезку $OD$:
$OD = x = 3$ см.

Теперь найдем длину отрезка $CO$, который состоит из двух таких "частей":
$CO = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Можно также рассуждать, что $CO$ составляет $\frac{2}{3}$ от всей медианы, а $OD$ составляет $\frac{1}{3}$:
$CO = \frac{2}{3} \cdot CD = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см.
$OD = \frac{1}{3} \cdot CD = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$ см.

Проверка: $CO + OD = 6 + 3 = 9$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: $CO = 6$ см, $OD = 3$ см.

Условие 2015-2022.

384. Медиана $CD$ треугольника $ABC$ равна 9 см. Найдите отрезки $CO$ и $OD$, где $O$ – точка пересечения медиан треугольника $ABC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).