Номер 390, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 390, страница 83.

Условие 2023.

390. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 8$ см, отрезок $AD$ – медиана, отрезок $BE$ – высота, $BE = 12$ см. Из точки $D$ опущен перпендикуляр $DF$ на сторону $AC$. Найдите отрезок $DF$ и $\angle ADF$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, он является равнобедренным с основанием $AC$.

Высота $BE$, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также его медианой. Следовательно, точка $E$ — середина стороны $AC$. $AE = EC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Рассмотрим $\triangle BEC$. Он является прямоугольным, так как $BE$ — высота ($\angle BEC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $BC$:
$BC = \sqrt{BE^2 + EC^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$ см.

По условию, $AD$ — медиана, значит, точка $D$ является серединой стороны $BC$.
$CD = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{10} = 2\sqrt{10}$ см.

Нахождение отрезка DF

Рассмотрим $\triangle DFC$ и $\triangle BEC$. У этих треугольников угол $C$ — общий, а углы $\angle DFC$ и $\angle BEC$ прямые, так как $DF$ и $BE$ — перпендикуляры к $AC$. Следовательно, $\triangle DFC \sim \triangle BEC$ по двум углам.

Из подобия следует отношение сторон: $\frac{DF}{BE} = \frac{DC}{BC}$.
Подставим известные значения:
$\frac{DF}{12} = \frac{2\sqrt{10}}{4\sqrt{10}}$
$\frac{DF}{12} = \frac{1}{2}$
$DF = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: $DF = 6$ см.

Нахождение $\angle ADF$

Для нахождения угла $ADF$ рассмотрим прямоугольный треугольник $ADF$ ($\angle DFA = 90^\circ$). Нам нужно найти длину катета $AF$.
Из подобия треугольников $\triangle DFC$ и $\triangle BEC$, которое мы установили ранее, следует, что $\frac{FC}{EC} = \frac{DC}{BC} = \frac{1}{2}$.
$FC = \frac{1}{2} EC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

Теперь найдем длину $AF$:
$AF = AC - FC = 8 - 2 = 6$ см.

В прямоугольном треугольнике $ADF$ катеты $AF$ и $DF$ равны: $AF = 6$ см и $DF = 6$ см (найдено ранее). Треугольник $ADF$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Найдем тангенс угла $ADF$:
$\text{tg}(\angle ADF) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AF}{DF} = \frac{6}{6} = 1$.

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.
Следовательно, $\angle ADF = 45^\circ$.

Ответ: $\angle ADF = 45^\circ$.

Условие 2015-2022.

390. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AC = 8$ см, $AD$ – медиана, $BE$ – высота, $BE = 12$ см. Из точки $D$ опущен перпендикуляр $DF$ на сторону $AC$. Найдите отрезок $DF$ и $\angle ADF$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).