Номер 389, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 389, страница 83.

Условие 2023.

389. Отрезок $BM$ – высота ромба $ABCD$, проведённая к стороне $AD$, $\angle A = 45^\circ$, $AM = 8$ см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до стороны $AD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть $ABCD$ — ромб, $BM$ — высота, проведенная к стороне $AD$. Следовательно, $BM \perp AD$, и треугольник $\triangle ABM$ является прямоугольным с $\angle BMA = 90^\circ$. По условию, $\angle A = 45^\circ$ и $AM = 8$ см. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Требуется найти расстояние от точки $O$ до стороны $AD$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABM$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Найдем угол $\angle ABM$:
$\angle ABM = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

2. Так как в треугольнике $\triangle ABM$ углы при основании $AB$ равны ($\angle A = \angle ABM = 45^\circ$), то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $BM = AM$.

3. По условию $AM = 8$ см, значит, высота ромба $BM$ также равна 8 см.
$BM = 8$ см.

4. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба $O$ до его стороны — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на эту сторону. Проведем перпендикуляр $OH$ к стороне $AD$. Длина отрезка $OH$ и есть искомое расстояние.

5. Точка пересечения диагоналей $O$ является центром симметрии ромба и находится на одинаковом расстоянии от параллельных сторон $AD$ и $BC$. Расстояние между этими сторонами равно высоте ромба, то есть $BM$. Следовательно, расстояние от точки $O$ до стороны $AD$ равно половине высоты ромба.

$OH = \frac{1}{2} BM$
Подставим найденное значение высоты $BM$:
$OH = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Ответ: 4 см.

Условие 2015-2022.

389. Отрезок $BM$ — высота ромба $ABCD$, проведённая к стороне $AD$, $\angle A = 45^\circ$, $AM = 8$ см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до стороны $AD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).