Номер 391, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 391, страница 84.

Условие 2023.

391. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна 24 см, сторона $AB$ разделена на четыре равных отрезка, и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне $AC$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором сторона $AC = 24$ см. Сторона $AB$ разделена на четыре равных отрезка. Обозначим точки деления, начиная от вершины $A$, как $D_1, D_2, D_3$. Таким образом, $AD_1 = D_1D_2 = D_2D_3 = D_3B$. Через эти точки проведены прямые, параллельные стороне $AC$. Пусть они пересекают сторону $BC$ в точках $G_1, G_2, G_3$ соответственно. Требуется найти длины отрезков $D_1G_1$, $D_2G_2$ и $D_3G_3$.

Для решения задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному. Рассмотрим треугольники, которые образуются с общей вершиной $B$: $\triangle BD_3G_3$, $\triangle BD_2G_2$ и $\triangle BD_1G_1$. Все они подобны исходному треугольнику $\triangle BAC$.

Пусть длина каждого из четырех равных отрезков на стороне $AB$ равна $x$. Тогда $AB = 4x$.

Найдем длину отрезка $D_3G_3$

Этот отрезок является ближайшим к вершине $B$. Рассмотрим $\triangle BD_3G_3$ и $\triangle BAC$. Так как $D_3G_3 \parallel AC$, эти треугольники подобны. Коэффициент подобия $k_1$ равен отношению соответственных сторон:

$k_1 = \frac{BD_3}{BA}$

Длина отрезка $BD_3 = x$, а длина стороны $BA = 4x$.

$k_1 = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$

Отношение длин отрезков $D_3G_3$ и $AC$ также равно коэффициенту подобия:

$\frac{D_3G_3}{AC} = k_1 = \frac{1}{4}$

$D_3G_3 = \frac{1}{4} \cdot AC = \frac{1}{4} \cdot 24 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

Найдем длину отрезка $D_2G_2$

Этот отрезок является средним из трех. Рассмотрим $\triangle BD_2G_2$ и $\triangle BAC$. Так как $D_2G_2 \parallel AC$, эти треугольники подобны. Коэффициент подобия $k_2 = \frac{BD_2}{BA}$.

Длина отрезка $BD_2 = BD_3 + D_3D_2 = x + x = 2x$.

$k_2 = \frac{2x}{4x} = \frac{1}{2}$

Следовательно:

$\frac{D_2G_2}{AC} = k_2 = \frac{1}{2}$

$D_2G_2 = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

Найдем длину отрезка $D_1G_1$

Этот отрезок является самым длинным из трех и ближайшим к основанию $AC$. Рассмотрим $\triangle BD_1G_1$ и $\triangle BAC$. Так как $D_1G_1 \parallel AC$, эти треугольники подобны. Коэффициент подобия $k_3 = \frac{BD_1}{BA}$.

Длина отрезка $BD_1 = BD_2 + D_2D_1 = 2x + x = 3x$.

$k_3 = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$

Следовательно:

$\frac{D_1G_1}{AC} = k_3 = \frac{3}{4}$

$D_1G_1 = \frac{3}{4} \cdot AC = \frac{3}{4} \cdot 24 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

Условие 2015-2022.

391. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна $24\text{ см}$, сторона $AB$ разделена на четыре равных отрезка, и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне $AC$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).