Номер 398, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 398, страница 84.

Условие 2023.

398. На рисунке 138 $AE \parallel BF \parallel CM \parallel DK$, $AB = 25$ см, $BC = 20$ см, $CD = 35$ см, $EK = 48$ см. Найдите отрезки $EF, FM$ и $MK$.

Рис. 138

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Эта задача решается с помощью обобщенной теоремы Фалеса (теоремы о пропорциональных отрезках). Согласно этой теореме, если параллельные прямые ($AE \parallel BF \parallel CM \parallel DK$) пересекают две другие прямые (в данном случае прямые, на которых лежат отрезки $AD$ и $EK$), то они отсекают на них пропорциональные отрезки.

Это означает, что отношение длин соответствующих отрезков постоянно:
$\frac{EF}{AB} = \frac{FM}{BC} = \frac{MK}{CD}$

Из свойства ряда равных отношений следует, что это отношение также равно отношению суммы числителей к сумме знаменателей:
$\frac{EF + FM + MK}{AB + BC + CD} = \frac{EK}{AD}$

Сначала найдем общую длину отрезка $AD$, сложив длины его частей:
$AD = AB + BC + CD = 25 + 20 + 35 = 80$ см.

Общая длина соответствующего отрезка $EK$ дана в условии: $EK = 48$ см.

Теперь мы можем найти общий коэффициент пропорциональности, который равен отношению длин $EK$ к $AD$:
$\frac{EK}{AD} = \frac{48}{80} = \frac{16 \cdot 3}{16 \cdot 5} = \frac{3}{5}$

Зная, что $\frac{EF}{AB} = \frac{FM}{BC} = \frac{MK}{CD} = \frac{3}{5}$, мы можем последовательно найти длины искомых отрезков.

EF

Из пропорции $\frac{EF}{AB} = \frac{3}{5}$ находим длину отрезка $EF$:
$EF = AB \cdot \frac{3}{5} = 25 \cdot \frac{3}{5} = 5 \cdot 3 = 15$ см.
Ответ: $EF = 15$ см.

FM

Из пропорции $\frac{FM}{BC} = \frac{3}{5}$ находим длину отрезка $FM$:
$FM = BC \cdot \frac{3}{5} = 20 \cdot \frac{3}{5} = 4 \cdot 3 = 12$ см.
Ответ: $FM = 12$ см.

MK

Из пропорции $\frac{MK}{CD} = \frac{3}{5}$ находим длину отрезка $MK$:
$MK = CD \cdot \frac{3}{5} = 35 \cdot \frac{3}{5} = 7 \cdot 3 = 21$ см.
Ответ: $MK = 21$ см.

Для проверки можно сложить найденные длины отрезков: $15 + 12 + 21 = 48$ см. Эта сумма равна заданной длине отрезка $EK$, что подтверждает правильность вычислений.

Условие 2015-2022.

398. На рисунке 126 $AE \parallel BF \parallel CM \parallel DK$, $AB = 25 \text{ см}$, $BC = 20 \text{ см}$, $CD = 35 \text{ см}$, $EK = 48 \text{ см}$. Найдите отрезки $EF, FM$ и $MK$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).