Номер 405, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 405, страница 84.

Условие 2023.

405. В треугольник $ABC$ вписан ромб $CDEF$ так, что угол $C$ у них общий, а вершины $D$, $E$ и $F$ ромба принадлежат соответственно сторонам $AC$, $AB$ и $BC$ треугольника. Найдите стороны $AC$ и $BC$, если $AE = 30$ см, $BE = 12$ см, а периметр треугольника равен $105$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, в треугольник $ABC$ вписан ромб $CDEF$ так, что угол $C$ у них общий, а вершины $D$, $E$ и $F$ лежат на сторонах $AC$, $AB$ и $BC$ соответственно.

Дано: $AE = 30$ см, $BE = 12$ см, периметр треугольника $ABC$ равен $P_{ABC} = 105$ см.

Найдем длину стороны $AB$:
$AB = AE + BE = 30 + 12 = 42$ см.

Пусть сторона ромба $CDEF$ равна $x$. Тогда $CD = DE = EF = FC = x$.

Так как $CDEF$ — ромб, его противоположные стороны параллельны.
1. Сторона $EF$ параллельна стороне $CD$. Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AC$, то $EF \parallel AC$.
2. Сторона $DE$ параллельна стороне $FC$. Поскольку точка $F$ лежит на стороне $BC$, то $DE \parallel BC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $EF \parallel AC$, то треугольник $EBF$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle EBF \sim \triangle ABC$). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{BE}{AB} = \frac{EF}{AC}$
Подставим известные значения:
$\frac{12}{42} = \frac{x}{AC}$
Отсюда выразим сторону $AC$ через $x$:
$AC = \frac{42 \cdot x}{12} = \frac{7}{2}x$

Теперь рассмотрим ту же ситуацию, но с другой парой параллельных прямых. Так как $DE \parallel BC$, то треугольник $ADE$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle ADE \sim \triangle ABC$). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{BC}$
Подставим известные значения:
$\frac{30}{42} = \frac{x}{BC}$
Отсюда выразим сторону $BC$ через $x$:
$BC = \frac{42 \cdot x}{30} = \frac{7}{5}x$

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон:
$P_{ABC} = AB + BC + AC = 105$ см.
Подставим в это уравнение известные и полученные выражения для сторон:
$42 + \frac{7}{5}x + \frac{7}{2}x = 105$

Решим полученное уравнение относительно $x$:
$\frac{7}{5}x + \frac{7}{2}x = 105 - 42$
$\frac{14x + 35x}{10} = 63$
$\frac{49x}{10} = 63$
$x = \frac{63 \cdot 10}{49} = \frac{9 \cdot 7 \cdot 10}{7 \cdot 7} = \frac{90}{7}$ см.

Теперь, зная значение $x$, можем найти длины сторон $AC$ и $BC$:
$AC = \frac{7}{2}x = \frac{7}{2} \cdot \frac{90}{7} = \frac{90}{2} = 45$ см.
$BC = \frac{7}{5}x = \frac{7}{5} \cdot \frac{90}{7} = \frac{90}{5} = 18$ см.

Проверим: $AB + BC + AC = 42 + 18 + 45 = 60 + 45 = 105$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: сторона $AC$ равна 45 см, сторона $BC$ равна 18 см.

Условие 2015-2022.

405. В треугольник $ABC$ вписан ромб $CDEF$ так, что угол $C$ у них общий, а вершины $D, E$ и $F$ ромба принадлежат соответственно сторонам $AC, AB$ и $BC$ треугольника. Найдите стороны $AC$ и $BC$, если $AE = 30$ см, $BE = 12$ см, а периметр треугольника равен $105$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).