Номер 410, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 410, страница 85.

Условие 2023.

410. В равнобедренном треугольнике $DEF$ провели высоту $EC$ к его основанию и на боковой стороне $EF$ отметили точку $A$. Отрезки $EC$ и $DA$ пересекаются в точке $O$, причём $AO : OD = 3 : 8$. Найдите отношение $EA : AF$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан равнобедренный треугольник $DEF$ с основанием $DF$, так что $DE = EF$. Высота $EC$, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике является также и медианой. Следовательно, точка $C$ — середина отрезка $DF$, то есть $DC = CF$.

Для решения задачи воспользуемся методом вспомогательных построений.

1. Проведем через вершину $D$ прямую, параллельную высоте $EC$. Пусть эта прямая пересекает прямую, содержащую сторону $EF$, в точке $G$. Таким образом, по построению $DG \parallel EC$.

2. Рассмотрим треугольник $FDG$. Отрезок $CE$ выходит из середины стороны $DF$ (точки $C$) и параллелен стороне $DG$. По теореме Фалеса, прямая $CE$ пересекает сторону $FG$ в ее середине. Это означает, что точка $E$ является серединой отрезка $FG$, то есть $FE = EG$.

3. Теперь рассмотрим угол, образованный пересекающимися прямыми $DA$ и $FG$. Эти прямые пересечены параллельными прямыми $OE$ (которая является частью $EC$) и $DG$. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.Следовательно, выполняется соотношение:

$ \frac{AO}{OD} = \frac{EA}{EG} $

4. По условию задачи дано, что $AO : OD = 3 : 8$. Значит:

$ \frac{EA}{EG} = \frac{3}{8} $

5. Из шага 2 мы знаем, что $EG = FE$ (так как $E$ — середина $FG$). Заменим $EG$ на $FE$ в полученной пропорции:

$ \frac{EA}{FE} = \frac{3}{8} $

6. Точка $A$ лежит на стороне $EF$, поэтому длина отрезка $FE$ равна сумме длин отрезков $EA$ и $AF$: $FE = EA + AF$. Подставим это выражение в пропорцию:

$ \frac{EA}{EA + AF} = \frac{3}{8} $

7. Решим полученное уравнение относительно отношения $EA : AF$:

$ 8 \cdot EA = 3 \cdot (EA + AF) $

$ 8 \cdot EA = 3 \cdot EA + 3 \cdot AF $

$ 8 \cdot EA - 3 \cdot EA = 3 \cdot AF $

$ 5 \cdot EA = 3 \cdot AF $

Разделив обе части на $5 \cdot AF$, получим:

$ \frac{EA}{AF} = \frac{3}{5} $

Ответ: $3:5$.

Условие 2015-2022.

410. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 60 см, а центр вписанной окружности делит медиану, проведённую к основанию, в отношении 12 : 5. Найдите основание треугольника.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).