Номер 414, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 414, страница 85.

Условие 2023.

414. Даны отрезки $a, b, c$. Постройте отрезок $x$ такой, что $a : x = b : c$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Анализ:

Задача состоит в построении отрезка $x$ по трем данным отрезкам $a, b, c$ так, чтобы выполнялась пропорция $a:x = b:c$. Это соотношение можно записать в виде равенства дробей: $\frac{a}{x} = \frac{b}{c}$. Используя основное свойство пропорции, получаем равенство $a \cdot c = b \cdot x$. Для построения отрезка $x$ удобно использовать обобщенную теорему Фалеса (теорему о пропорциональных отрезках). Для этого преобразуем пропорцию к виду, который легко воспроизвести геометрически, например, $\frac{b}{a} = \frac{c}{x}$.

Построение:

1. Начертим произвольный неразвернутый угол с вершиной в точке $O$. Обозначим его лучи как $l_1$ и $l_2$.
2. На одном из лучей, например на $l_1$, отложим от вершины $O$ два отрезка: отрезок $OA$ длиной $a$ и отрезок $OB$ длиной $b$.
3. На втором луче, $l_2$, отложим от вершины $O$ отрезок $OC$ длиной $c$.
4. Соединим точки $A$ и $C$.
5. Через точку $B$ проведем прямую, параллельную прямой $AC$. Пусть эта прямая пересекает луч $l_2$ в точке $D$.
6. Отрезок $OD$ является искомым отрезком $x$.

Доказательство:

Рассмотрим угол с вершиной $O$. По нашему построению, прямая $BD$ параллельна прямой $AC$ ($BD \parallel AC$). По обобщенной теореме Фалеса, параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. В данном случае треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBD$ подобны. Следовательно, их стороны пропорциональны: $\frac{OB}{OA} = \frac{OD}{OC}$.

Подставим в эту пропорцию длины отрезков, которые мы использовали при построении: $OA = a$, $OB = b$, $OC = c$. Обозначим длину полученного отрезка $OD$ через $x$. Тогда мы получим: $\frac{b}{a} = \frac{x}{c}$.

Преобразуем это равенство, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $a \cdot x = b \cdot c$.

Это равенство эквивалентно исходной пропорции $a:x = b:c$. Следовательно, построенный отрезок $OD$ действительно является искомым отрезком $x$.

Ответ: Построенный отрезок $OD$ является искомым отрезком $x$.

Условие 2015-2022.

414. Даны отрезки $a$, $b$, $c$. Постройте отрезок $x$ такой, что $a : x = b : c$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).