Номер 420, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 420, страница 86.

Условие 2023.

420. Сторона квадрата ABCD равна $a$. На дуге AC окружности с центром B, радиус которой равен $a$, отмечена точка E такая, что $\angle BEC = 75^\circ$. Найдите отрезок AE.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, $ABCD$ является квадратом со стороной $a$, а точка $E$ лежит на дуге $AC$ окружности с центром в точке $B$ и радиусом $a$.

Рассмотрим треугольник $BCE$.

Сторона квадрата $BC$ равна $a$. Поскольку точка $E$ лежит на окружности с центром $B$ и радиусом $a$, отрезок $BE$ также является радиусом, и его длина равна $a$. Таким образом, $BE = a$.

В треугольнике $BCE$ две стороны равны: $BC = BE = a$. Это означает, что треугольник $BCE$ — равнобедренный с основанием $CE$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle BCE = \angle BEC$.

Из условия задачи известно, что $\angle BEC = 75^{\circ}$. Значит, и $\angle BCE = 75^{\circ}$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. Найдем угол $\angle EBC$:

$\angle EBC = 180^{\circ} - (\angle BCE + \angle BEC) = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 75^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.

Теперь рассмотрим угол $\angle ABC$. Так как $ABCD$ — квадрат, угол $\angle ABC$ является прямым, то есть $\angle ABC = 90^{\circ}$.

Точка $E$ находится на дуге $AC$, которая является частью окружности внутри квадрата, поэтому угол $\angle ABE$ можно вычислить как разность углов $\angle ABC$ и $\angle EBC$:

$\angle ABE = \angle ABC - \angle EBC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $ABE$.

Сторона квадрата $AB = a$. Как мы уже установили, $BE = a$.

В треугольнике $ABE$ две стороны равны: $AB = BE = a$. Следовательно, этот треугольник также является равнобедренным.

Угол между равными сторонами $AB$ и $BE$ равен $\angle ABE = 60^{\circ}$.

Равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине (между равными сторонами) равен $60^{\circ}$, является равносторонним.

Это означает, что все стороны треугольника $ABE$ равны, включая сторону $AE$.

$AE = AB = BE = a$.

Таким образом, длина искомого отрезка $AE$ равна $a$.

Ответ: $a$.

Условие 2015-2022.

420. Сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. На дуге $AC$ окружности с центром $B$, радиус которой равен $a$, отмечена точка $E$ такая, что $\angle BEC = 75^\circ$. Найдите отрезок $AE$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).