Номер 3, страница 89 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 3, страница 89.

Условие 2023.

3. Сформулируйте лемму о подобных треугольниках.

Решение 6 (2023).

Лемма о подобных треугольниках, также известная как основная теорема о подобии, является фундаментальным утверждением в геометрии.

Формулировка леммы

Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Доказательство

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем прямую $DE$, параллельную стороне $AC$, так, что точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ — на стороне $BC$. Нам нужно доказать, что треугольник $DBE$ подобен треугольнику $ABC$, то есть $\triangle DBE \sim \triangle ABC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle DBE$ и $\triangle ABC$:

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
2. Угол $\angle BDE$ равен углу $\angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $AB$.
3. Угол $\angle BED$ равен углу $\angle BCA$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $BC$.

Так как все три угла треугольника $DBE$ соответственно равны трем углам треугольника $ABC$, эти треугольники подобны. Достаточно и первого признака подобия треугольников (по двум углам): поскольку $\angle B$ — общий и $\angle BDE = \angle BAC$, то $\triangle DBE \sim \triangle ABC$.

Лемма доказана.

Ответ: Прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Условие 2015-2022.

3. Сформулируйте лемму о подобных треугольниках.