Номер 422, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 422, страница 86.

Условие 2023.

422. Равносторонний треугольник покрыт пятью меньшими равными между собой равносторонними треугольниками. Докажите, что для покрытия достаточно и четырёх таких треугольников.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан большой равносторонний треугольник $T$ со стороной $L$. Он покрыт пятью меньшими равными равносторонними треугольниками $t_i$ со стороной $l$. Поскольку треугольники $t_i$ меньше, чем $T$, то $l < L$.

Рассмотрим три точки, являющиеся серединами сторон треугольника $T$. Обозначим их $M_1$, $M_2$ и $M_3$. Эти три точки образуют вершины нового равностороннего треугольника (медиального треугольника), вписанного в $T$, со стороной, равной $L/2$.

Поскольку пять треугольников $t_i$ покрывают весь треугольник $T$, они, в частности, должны покрывать и эти три точки $M_1, M_2, M_3$. Докажем от противного, что для этого необходимо, чтобы сторона малого треугольника $l$ была не меньше половины стороны большого, то есть $l \ge L/2$.

Предположим, что $l < L/2$.

Расстояние между любыми двумя из точек $M_1, M_2, M_3$ равно $L/2$. Так как по нашему предположению $l < L/2$, ни один малый треугольник $t_i$ не может покрыть две из этих точек одновременно (максимальное расстояние между двумя точками в равностороннем треугольнике равно длине его стороны).

Следовательно, для покрытия трех точек $M_1, M_2, M_3$ требуются как минимум три различных малых треугольника.

Теперь рассмотрим вершины большого треугольника $T$, обозначим их $V_1, V_2, V_3$. Расстояние от любой вершины $V_i$ до ближайшей к ней середины стороны (например, от $V_1$ до $M_1$ или $M_2$) равно $L/2$. Если малый треугольник $t_k$ покрывает вершину $V_1$, то из-за условия $l < L/2$ он не может покрыть ни одну из точек $M_1, M_2, M_3$. В частности, он не может покрыть ни одну точку медиального треугольника, образованного точками $M_1, M_2, M_3$.

Вершины $V_1, V_2, V_3$ должны быть покрыты. Поскольку расстояние между любыми двумя вершинами равно $L$, а $l < L$, для их покрытия требуются три разных малых треугольника. Обозначим их $t_1, t_2, t_3$. Как мы только что показали, ни один из этих трех треугольников, покрывающих вершины, не может пересекаться с медиальным треугольником, построенным на серединах сторон $T$.

Таким образом, весь медиальный треугольник со стороной $L/2$ должен быть покрыт оставшимися двумя малыми треугольниками, $t_4$ и $t_5$. Однако два равносторонних треугольника со стороной $l < L/2$ не могут покрыть один равносторонний треугольник со стороной $L/2$. Их суммарная площадь меньше необходимой, если $2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{4}l^2) < \frac{\sqrt{3}}{4}(L/2)^2$, что эквивалентно $2l^2 < L^2/4$ или $l < L/(2\sqrt{2})$. Но даже если площадь достаточна, геометрически покрытие невозможно, так как два треугольника со стороной $l$ могут покрыть максимум ромб со стороной $l$, который не может вместить в себя треугольник со стороной $L/2 > l$.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и на самом деле должно выполняться условие $l \ge L/2$.

Теперь докажем, что если $l \ge L/2$, то для покрытия треугольника $T$ достаточно четырех малых треугольников. Разделим большой треугольник $T$ его средними линиями на четыре равных равносторонних треугольника со стороной $L/2$. Поскольку сторона каждого из имеющихся у нас малых покрывающих треугольников $t_i$ не меньше, чем $L/2$, каждый такой треугольник может полностью накрыть один из четырех треугольников, на которые мы разделили $T$. Следовательно, мы можем разместить четыре малых треугольника так, чтобы они полностью покрыли большой треугольник $T$.

Это доказывает, что если пять малых равных равносторонних треугольников покрывают большой, то для его покрытия достаточно и четырех таких треугольников.

Ответ: Утверждение доказано.

Условие 2015-2022.

422. Равносторонний треугольник покрыт пятью меньшими равными между собой равносторонними треугольниками. Докажите, что для покрытия достаточно и четырёх таких треугольников.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).