Номер 419, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 419, страница 86.

Условие 2023.

419. Биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC пересекает луч AC в точке D. Докажите, что $AB : BC = AD : CD$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Это утверждение известно как свойство биссектрисы внешнего угла треугольника. Для доказательства воспользуемся методом дополнительного построения.

Пусть дан треугольник $ABC$. Продолжим сторону $AB$ за точку $B$ и получим луч $BE$. Угол $\angle CBE$ является внешним углом треугольника при вершине $B$. Проведем его биссектрису $BD$, которая пересекает луч $AC$ в точке $D$.

Через вершину $C$ проведем прямую, параллельную стороне $AB$, до пересечения с биссектрисой $BD$ в точке $K$.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ (или $BE$) и $CK$ и секущую $BD$.

1. Углы $\angle EBD$ и $\angle CKD$ (или $\angle BKC$) являются накрест лежащими, следовательно, $\angle EBD = \angle BKC$.

2. По условию, $BD$ — биссектриса угла $\angle CBE$, значит, $\angle CBD = \angle EBD$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle CBD = \angle BKC$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCK$. Так как в нем углы при основании $BK$ равны ($\angle KBC = \angle BKC$), то треугольник $BCK$ является равнобедренным, и, следовательно, его боковые стороны равны: $BC = CK$.

Далее рассмотрим треугольники $ABD$ и $CKD$.

1. Угол $\angle D$ у них общий.

2. Так как прямая $CK$ параллельна прямой $AB$, то углы $\angle DAB$ и $\angle KCD$ равны как соответственные при параллельных прямых $AB$ и $CK$ и секущей $AD$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники $ABD$ и $CKD$ подобны по двум углам ($\triangle ABD \sim \triangle CKD$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{AB}{CK} = \frac{AD}{CD}$

Так как мы ранее установили, что $CK = BC$, мы можем подставить $BC$ вместо $CK$ в эту пропорцию:

$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD}$

Данное равенство можно записать в виде пропорции $AB : BC = AD : CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AB : BC = AD : CD$.

Условие 2015-2022.

419. Биссектриса внешнего угла при вершине $B$ треугольника $ABC$ пересекает луч $AC$ в точке $D$. Докажите, что $AB : BC = AD : CD$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).