Номер 417, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 417, страница 85.

Условие 2023.

417. Постройте треугольник:

1) по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам;

2) по высоте, проведённой к одной из сторон, и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

1) по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам;

Анализ. Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Обозначим данную сторону $BC = a$, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — $BE = m_b$ и $CF = m_c$. Медианы треугольника пересекаются в одной точке $O$ (центроиде), которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Отсюда следуют соотношения: $BO = \frac{2}{3}m_b$ и $CO = \frac{2}{3}m_c$.

В треугольнике $BOC$ нам известны длины всех трёх сторон: $BC = a$, $BO = \frac{2}{3}m_b$ и $CO = \frac{2}{3}m_c$. Это позволяет построить треугольник $BOC$ по трём сторонам.

После того как треугольник $BOC$ будет построен, мы будем знать положение вершин $B$ и $C$, а также центроида $O$. Вершину $A$ можно найти, продолжив лучи $BO$ и $CO$ и используя свойство медиан. Точка $E$ (середина стороны $AC$) лежит на луче $BO$ так, что $BE=m_b$. Точка $F$ (середина стороны $AB$) лежит на луче $CO$ так, что $CF=m_c$. Вершина $A$ является точкой пересечения прямых $BF$ и $CE$.

Построение:

1. С помощью циркуля и линейки построить отрезки, длины которых равны $\frac{2}{3}m_b$ и $\frac{2}{3}m_c$. Это можно сделать, разделив отрезки $m_b$ и $m_c$ на три равные части (например, по теореме Фалеса).
2. Построить треугольник $BOC$ по трём сторонам: $BC = a$, $BO = \frac{2}{3}m_b$, $CO = \frac{2}{3}m_c$. Построение возможно, если для этих длин выполняется неравенство треугольника.
3. Провести луч $BO$ и отложить на нём от точки $O$ отрезок $OE = \frac{1}{2}BO$. Получим точку $E$.
4. Провести луч $CO$ и отложить на нём от точки $O$ отрезок $OF = \frac{1}{2}CO$. Получим точку $F$.
5. Провести прямую через точки $B$ и $F$.
6. Провести прямую через точки $C$ и $E$.
7. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой вершиной $A$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство. В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ имеет заданную длину $a$. По построению, отрезки $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $O$, причём $BO = 2 \cdot OE$ и $CO = 2 \cdot OF$. Это означает, что $BE$ и $CF$ являются медианами треугольника $ABC$. Их длины по построению равны $BE = BO+OE = \frac{3}{2}BO = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}m_b = m_b$ и $CF = CO+OF = \frac{3}{2}CO = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}m_c = m_c$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Треугольник $ABC$, полученный в результате описанного построения, является искомым.

2) по высоте, проведённой к одной из сторон, и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Анализ. Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Обозначим высоту, проведённую из вершины $A$ к стороне $BC$, как $h_a$, а медианы, проведённые к сторонам $AC$ и $AB$, — $BE=m_b$ и $CF=m_c$.

Пусть $O$ — центроид треугольника $ABC$. Тогда $BO = \frac{2}{3}m_b$ и $CO = \frac{2}{3}m_c$. Существует важное свойство центроида: расстояние от него до любой стороны треугольника равно одной трети высоты, проведённой к этой стороне. Следовательно, расстояние от точки $O$ до прямой $BC$ равно $\frac{1}{3}h_a$.

Это даёт нам ключ к построению. Мы можем построить прямую, на которой будет лежать сторона $BC$. Затем построить параллельную ей прямую, на которой будет находиться центроид $O$. Зная положение точки $O$ и длины отрезков $BO$ и $CO$, мы можем найти вершины $B$ и $C$.

Построение:

1. Построить отрезки длиной $\frac{1}{3}h_a$, $\frac{2}{3}m_b$ и $\frac{2}{3}m_c$.
2. Провести произвольную прямую $l$, на которой будет расположена сторона $BC$.
3. Построить прямую $l'$, параллельную прямой $l$ и находящуюся на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от неё.
4. Выбрать на прямой $l'$ произвольную точку $O$, которая будет центроидом искомого треугольника.
5. Из точки $O$ как из центра провести окружность радиусом $R_B = \frac{2}{3}m_b$. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $B$. (Для существования решения необходимо, чтобы $R_B \ge \frac{1}{3}h_a$, то есть $2m_b \ge h_a$. Если точек пересечения две, выбираем любую).
6. Из точки $O$ как из центра провести окружность радиусом $R_C = \frac{2}{3}m_c$. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $C$. (Аналогично, необходимо $2m_c \ge h_a$. Выбираем точку пересечения, не совпадающую с $B$).
7. Теперь, когда построены вершины $B$, $C$ и центроид $O$, дальнейшие действия аналогичны предыдущей задаче: находим вершину $A$ как точку пересечения прямых $BF$ и $CE$, где $E$ и $F$ — концы медиан (точки, такие что $OE = \frac{1}{2}BO$ и $OF = \frac{1}{2}CO$).

Доказательство. В построенном треугольнике $ABC$ отрезки $BE$ и $CF$ по построению являются медианами, а их длины равны $m_b$ и $m_c$. Центроид $O$ по построению находится на расстоянии $\frac{1}{3}h_a$ от прямой $BC$. Так как высота из вершины $A$ в три раза больше расстояния от центроида до стороны $BC$, то высота $h_a$ в построенном треугольнике будет равна $3 \cdot (\frac{1}{3}h_a) = h_a$. Следовательно, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Треугольник $ABC$, полученный в результате описанного построения, является искомым.

Условие 2015-2022.

417. Постройте треугольник:

1) по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам;

2) по высоте, проведённой к одной из сторон, и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).