Номер 413, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 413, страница 85.

Условие 2023.

413. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен их полуразности.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Обозначим длины оснований как $a = AD$ и $b = BC$. Для определенности будем считать, что $a > b$. Пусть M — середина диагонали AC, а N — середина диагонали BD. Требуется доказать, что отрезок MN параллелен основаниям трапеции и его длина равна их полуразности.

Доказательство

Рассмотрим боковую сторону AB и отметим на ней середину — точку K.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике отрезок KN соединяет середины сторон AB и BD. По определению, KN является средней линией треугольника ABD. Согласно теореме о средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Следовательно:
$KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$.

Аналогично рассмотрим треугольник ABC. Отрезок KM соединяет середины сторон AB и AC. Таким образом, KM является средней линией треугольника ABC. По той же теореме о средней линии:
$KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC = \frac{b}{2}$.

По определению трапеции, ее основания параллельны друг другу: $AD \parallel BC$. Из этого факта и из свойств средних линий, которые мы вывели ($KN \parallel AD$ и $KM \parallel BC$), следует, что отрезки KN и KM параллельны одной и той же прямой (например, AD), а значит, они параллельны и между собой: $KN \parallel KM$.

Поскольку два отрезка KN и KM параллельны и выходят из одной общей точки K, они могут лежать только на одной прямой. Это означает, что точки K, M и N — коллинеарны (лежат на одной прямой). Эта прямая, содержащая отрезок MN, параллельна основаниям трапеции. Следовательно, и сам отрезок MN параллелен основаниям AD и BC.
$MN \parallel AD \parallel BC$.
Первая часть утверждения доказана.

Теперь найдем длину отрезка MN. Так как точки K, M, N лежат на одной прямой и мы приняли, что $a > b$ (то есть $AD > BC$), то и длина отрезка $KN$ будет больше длины отрезка $KM$. Значит, точка M лежит между точками K и N. Длина отрезка MN в этом случае будет равна разности длин отрезков KN и KM:
$MN = KN - KM$.

Подставив найденные ранее значения длин, мы получаем:
$MN = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a - b}{2} = \frac{AD - BC}{2}$.
Вторая часть утверждения также доказана.

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен их полуразности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, действительно параллелен ее основаниям, а его длина равна полуразности длин оснований. Если a и b — длины оснований, то длина этого отрезка равна $\frac{|a - b|}{2}$.

Условие 2015-2022.

413. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен их полуразности.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).