Номер 406, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 406, страница 85.

Условие 2023.

406. Стороны треугольника равны 39 см, 65 см и 80 см. Окружность, центр которой принадлежит большей стороне треугольника, касается двух других сторон. На какие отрезки центр этой окружности делит сторону треугольника?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $BC = 39$ см, $AC = 65$ см и $AB = 80$ см. Наибольшей стороной является $AB$.

По условию задачи, центр окружности, назовем его точкой $O$, принадлежит большей стороне треугольника, то есть стороне $AB$. Также известно, что окружность касается двух других сторон, $AC$ и $BC$.

Если окружность касается сторон $AC$ и $BC$, то ее центр $O$ равноудален от этих сторон. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, является его биссектрисой. Следовательно, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $C$ треугольника $ABC$.

Таким образом, точка $O$ является точкой пересечения биссектрисы угла $C$ со стороной $AB$. Отрезок $CO$ является биссектрисой треугольника $ABC$.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. В нашем случае биссектриса $CO$ делит сторону $AB$ на отрезки $AO$ и $BO$. Согласно свойству биссектрисы:

$\frac{AO}{BO} = \frac{AC}{BC}$

Подставим известные длины сторон:

$\frac{AO}{BO} = \frac{65}{39}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 13:

$\frac{65}{39} = \frac{5 \times 13}{3 \times 13} = \frac{5}{3}$

Таким образом, мы получили соотношение: $\frac{AO}{BO} = \frac{5}{3}$.

Пусть длина отрезка $BO$ равна $3x$ см, тогда длина отрезка $AO$ будет равна $5x$ см.

Точка $O$ лежит на стороне $AB$, поэтому сумма длин отрезков $AO$ и $BO$ равна длине стороны $AB$:

$AO + BO = AB$

$5x + 3x = 80$

$8x = 80$

$x = 10$

Теперь найдем длины искомых отрезков:

$AO = 5x = 5 \times 10 = 50$ см.

$BO = 3x = 3 \times 10 = 30$ см.

Итак, центр окружности делит большую сторону треугольника на отрезки длиной 30 см и 50 см.

Ответ: 30 см и 50 см.

Условие 2015-2022.

406. Стороны треугольника равны 39 см, 65 см и 80 см. Окружность, центр которой принадлежит большей стороне треугольника, касается двух других сторон. На какие отрезки центр этой окружности делит сторону треугольника?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).