Номер 403, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 403, страница 84.

Условие 2023.

403. Даны отрезок $AB$ и точка $O$, не принадлежащая прямой $AB$. Постройте треугольник, для которого отрезок $AB$ является стороной, а точка $O$ – точкой пересечения медиан.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения данной задачи на построение воспользуемся свойством точки пересечения медиан треугольника.

Анализ
Пусть $ABC$ — искомый треугольник. По условию, $AB$ — одна из его сторон, а $O$ — точка пересечения его медиан. Проведем медиану $CM$ к стороне $AB$. По определению медианы, точка $M$ является серединой отрезка $AB$.
Основное свойство точки пересечения медиан заключается в том, что она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $CM$ это свойство выражается соотношением $CO : OM = 2:1$. Из этого следует, что точки $C$, $O$ и $M$ лежат на одной прямой (медиане $CM$), а длина отрезка $CO$ вдвое больше длины отрезка $OM$.
Таким образом, алгоритм построения третьей вершины $C$ сводится к нахождению середины $M$ стороны $AB$ и последующему построению точки $C$ на луче $MO$ на основании известного соотношения.

Построение
1. Находим середину $M$ отрезка $AB$. Для этого с помощью циркуля и линейки строим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $AB$ и будет его серединой $M$.
2. Проводим луч, начинающийся в точке $M$ и проходящий через точку $O$.
3. На луче $MO$ откладываем от точки $O$ в сторону, противоположную точке $M$, отрезок $OC$, длина которого равна удвоенной длине отрезка $OM$ ($OC = 2 \cdot OM$). Практически это можно сделать, измерив циркулем расстояние $OM$ и последовательно отложив его два раза от точки $O$ вдоль луча.
4. Соединяем полученную точку $C$ с точками $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство
В построенном треугольнике $ABC$ отрезок $AB$ является стороной по построению. Отрезок $CM$ является медианой, так как точка $M$ — середина стороны $AB$ (по построению). Точка $O$ лежит на этой медиане и, по построению, делит ее в отношении $CO : OM = 2:1$, считая от вершины $C$. Следовательно, $O$ является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$. Поскольку по условию точка $O$ не принадлежит прямой $AB$, то точки $A, B, C$ не коллинеарны, и построенная фигура действительно является треугольником.

Ответ: Треугольник $ABC$, построенный в соответствии с описанным алгоритмом, является искомым.

Условие 2015-2022.

403. Даны отрезок $AB$ и точка $O$, не принадлежащая прямой $AB$. Постройте треугольник, для которого отрезок $AB$ является стороной, а точка $O$ – точкой пересечения медиан.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).