Номер 409, страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 409, страница 85.

Условие 2023.

409. Точка $D$ – середина основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. На стороне $AB$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 2 : 7$. В каком отношении прямая $BD$ делит отрезок $CM$?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть O — точка пересечения прямой BD и отрезка CM. Для решения этой задачи удобно применить теорему Менелая.

Рассмотрим треугольник AMC и прямую BOD как секущую. Прямая BOD пересекает сторону CM в точке O, сторону AC в точке D и продолжение стороны AM в точке B.

По теореме Менелая для треугольника AMC и секущей BOD справедливо следующее соотношение:

$$ \frac{AB}{BM} \cdot \frac{MO}{OC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1 $$

Найдем значения каждого из отношений, входящих в эту формулу, исходя из условий задачи:

• Из условия $ AM : MB = 2 : 7 $ следует, что если принять $ AM = 2k $, то $ MB = 7k $. Тогда вся сторона $ AB = AM + MB = 2k + 7k = 9k $. Таким образом, отношение $ \frac{AB}{BM} $ равно:

  $$ \frac{AB}{BM} = \frac{9k}{7k} = \frac{9}{7} $$

• Точка D — середина основания AC, поэтому $ AD = DC $. Следовательно, отношение $ \frac{CD}{DA} $ равно:

  $$ \frac{CD}{DA} = 1 $$

Теперь подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$$ \frac{9}{7} \cdot \frac{MO}{OC} \cdot 1 = 1 $$

Из этого уравнения выразим отношение $ \frac{MO}{OC} $:

$$ \frac{MO}{OC} = \frac{7}{9} $$

Вопрос задачи состоит в том, в каком отношении прямая BD делит отрезок CM. Это отношение принято записывать как $ CO : OM $. Из полученного нами результата следует:

$$ \frac{CO}{OM} = \frac{9}{7} $$

Таким образом, прямая BD делит отрезок CM в отношении $ 9:7 $, считая от вершины C.

Примечательно, что условие о том, что треугольник ABC является равнобедренным, не используется в решении и является избыточным. Задача имеет такое же решение для любого треугольника, в котором BD является медианой.

Ответ: $ 9:7 $

Условие 2015-2022.

409. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, равна 42 см, а основание относится к боковой стороне как 6 : 11. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).