Номер 402, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 402, страница 84.

Условие 2023.

402. В треугольнике ABC ($AB = BC$) проведены медиана AM и высота BH. Найдите высоту BH, если $AM = 45 \text{ см}$, $\angle CAM = 30^\circ$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена высота $BH$, которая также является и медианой. Также проведена медиана $AM$ к боковой стороне $BC$.

Для решения задачи выполним дополнительное построение: из точки $M$ опустим перпендикуляр $MK$ на основание $AC$. Таким образом, $MK \perp AC$.

Поскольку высота $BH$ также перпендикулярна основанию $AC$ ($BH \perp AC$), то прямые $MK$ и $BH$ параллельны ($MK \parallel BH$).

Рассмотрим треугольник $BHC$. По условию, $AM$ — медиана, значит, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Так как отрезок $MK$ выходит из середины стороны $BC$ и параллелен стороне $BH$, то $MK$ является средней линией треугольника $BHC$. По свойству средней линии, ее длина равна половине стороны, которой она параллельна:

$MK = \frac{1}{2} BH$

Теперь рассмотрим треугольник $AMK$. Он является прямоугольным, так как $\angle MKA = 90^\circ$ по построению. В этом треугольнике известны гипотенуза $AM = 45$ см и прилежащий к ней угол $\angle MAK$, который равен данному в условии углу $\angle CAM = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В треугольнике $AMK$ катет $MK$ лежит как раз напротив угла $\angle MAK = 30^\circ$. Следовательно:

$MK = AM \cdot \sin(30^\circ) = 45 \cdot \frac{1}{2} = 22.5$ см.

Зная длину $MK$ и соотношение $MK = \frac{1}{2} BH$, мы можем найти высоту $BH$:

$BH = 2 \cdot MK = 2 \cdot 22.5 = 45$ см.

Ответ: 45 см.

Условие 2015-2022.

402. В треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) проведены медиана $AM$ и высота $BH$. Найдите $BH$, если $AM = 45 \text{ см}$, $\angle CAM = 30^\circ$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).