Номер 396, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 396, страница 84.

Условие 2023.

396. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию $MK$ в точках $E$ и $F$. Докажите, что $ME = KF$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD ($BC \parallel AD$) и боковыми сторонами AB и CD. Пусть MK — средняя линия трапеции, где M — середина AB, а K — середина CD. По определению, средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, то есть $MK \parallel AD$ и $MK \parallel BC$. Диагональ AC пересекает среднюю линию MK в точке E, а диагональ BD пересекает MK в точке F.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Точка M является серединой стороны AB (по условию). Отрезок ME является частью средней линии MK, следовательно, $ME \parallel BC$. По теореме, обратной теореме о средней линии треугольника (или по теореме Фалеса), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, то она пересекает третью сторону в её середине. Таким образом, прямая ME пересекает сторону AC в её середине, то есть E — середина AC. Следовательно, ME является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины параллельной ей стороны: $ME = \frac{1}{2} BC$.

2. Рассмотрим треугольник DBC. Точка K является серединой стороны CD (по условию). Отрезок KF является частью средней линии MK, следовательно, $KF \parallel BC$. Аналогично, по той же теореме, прямая KF, проходящая через середину стороны CD параллельно стороне BC, пересекает сторону BD в её середине. Таким образом, F — середина BD. Следовательно, KF является средней линией треугольника DBC. По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине длины параллельной ей стороны: $KF = \frac{1}{2} BC$.

3. Сравнивая полученные результаты, имеем: $ME = \frac{1}{2} BC$ $KF = \frac{1}{2} BC$ Отсюда следует, что $ME = KF$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ME = KF$ доказано.

Условие 2015-2022.

396. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию $MK$ в точках $E$ и $F$. Докажите, что $ME = KF$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).