Номер 392, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 392, страница 84.

Условие 2023.

392. Основания трапеции равны 16 см и 28 см. Одна из боковых сторон разделена на три равных отрезка, и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие трапеции.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. По условию, длины оснований равны $BC = 16$ см и $AD = 28$ см.
Одна из боковых сторон, например $AB$, разделена на три равных отрезка точками $M$ и $N$, так что $AM = MN = NB$. Через точки $M$ и $N$ проведены прямые, параллельные основаниям. Пусть эти прямые пересекают боковую сторону $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Требуется найти длины отрезков $MP$ и $NQ$. Обозначим длину отрезка $MP$ как $x_1$, а длину отрезка $NQ$ как $x_2$.

Поскольку точки $M$ и $N$ делят сторону $AB$ в порядке $A, M, N, B$ (от большего основания к меньшему), то отрезок $MP$ ($x_1$) будет длиннее отрезка $NQ$ ($x_2$).

Нахождение длин искомых отрезков

Для решения задачи воспользуемся свойством средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

1. Рассмотрим трапецию $AMPD$. Её основаниями являются отрезки $AD$ (длиной 28 см) и $MP$ (длиной $x_1$). Отрезок $NQ$ ($x_2$) является средней линией этой трапеции, так как точка $N$ — середина боковой стороны $AM$ (поскольку $AN=NM$), а точка $Q$ — середина стороны $DP$ (по теореме Фалеса).
Следовательно, длина $NQ$ равна полусумме длин оснований $AD$ и $MP$:
$x_2 = \frac{AD + MP}{2} = \frac{28 + x_1}{2}$

2. Теперь рассмотрим трапецию $MNCQ$. Её основаниями являются отрезки $MP$ (длиной $x_1$) и $NQ$ (длиной $x_2$). Отрезок $BC$ не является ее частью. Этот подход неверен.
Давайте изменим порядок точек на стороне $AB$ на $B, N, M, A$, что более естественно при чтении условия. Тогда $BN=NM=MA$. Отрезок $NQ$ ($x_2$) находится ближе к основанию $BC$, а отрезок $MP$ ($x_1$) — ближе к основанию $AD$.

1. Рассмотрим трапецию $BCPM$. Ее основаниями являются $BC=16$ и $MP=x_1$. Отрезок $NQ$ ($x_2$) является средней линией этой трапеции, так как $N$ — середина стороны $BM$ ($BN=NM$).
Следовательно:
$x_2 = \frac{BC + MP}{2} = \frac{16 + x_1}{2}$

2. Рассмотрим трапецию $NQDA$. Ее основаниями являются $NQ=x_2$ и $AD=28$. Отрезок $MP$ ($x_1$) является средней линией этой трапеции, так как $M$ — середина стороны $NA$ ($NM=MA$).
Следовательно:
$x_1 = \frac{NQ + AD}{2} = \frac{x_2 + 28}{2}$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} x_2 = \frac{16 + x_1}{2} \\ x_1 = \frac{x_2 + 28}{2} \end{cases}$
Умножим оба уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$\begin{cases} 2x_2 = 16 + x_1 \\ 2x_1 = x_2 + 28 \end{cases}$

Решим систему. Из второго уравнения выразим $x_2$:
$x_2 = 2x_1 - 28$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2(2x_1 - 28) = 16 + x_1$
$4x_1 - 56 = 16 + x_1$
$4x_1 - x_1 = 16 + 56$
$3x_1 = 72$
$x_1 = \frac{72}{3} = 24$ см.

Теперь найдем $x_2$, подставив значение $x_1$ в выражение для $x_2$:
$x_2 = 2(24) - 28 = 48 - 28 = 20$ см.

Длины искомых отрезков равны 20 см и 24 см.

Примечание: Можно заметить, что длины параллельных отрезков, делящих боковую сторону на равные части, образуют арифметическую прогрессию. В данном случае это последовательность из четырех членов: 16, $x_2$, $x_1$, 28.
Пусть $a_1 = 16$ и $a_4 = 28$. Тогда $a_4 = a_1 + 3d$, где $d$ — разность прогрессии.
$28 = 16 + 3d \implies 3d = 12 \implies d = 4$.
Тогда $x_2 = a_2 = a_1 + d = 16 + 4 = 20$ см.
А $x_1 = a_3 = a_2 + d = 20 + 4 = 24$ см.

Ответ: длины отрезков равны 20 см и 24 см.

Условие 2015-2022.

392. Основания трапеции равны 16 см и 28 см. Одна из боковых сторон разделена на три равных отрезка, и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие трапеции.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).