Номер 393, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 393, страница 84.

Условие 2023.

393. Сторона $DE$ треугольника $DEF$ разделена на три равных отрезка, и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне $DF$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику $DEF$, если $DF = 15$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Пусть в треугольнике $DEF$ на стороне $DE$ отмечены точки $M$ и $N$, которые делят её на три равных отрезка. Для определенности, пусть порядок точек на стороне будет $D, M, N, E$. Таким образом, $DM = MN = NE$. Через точки $M$ и $N$ проведены прямые, параллельные стороне $DF$. Пусть прямая, проходящая через $M$, пересекает сторону $EF$ в точке $P$, а прямая, проходящая через $N$, пересекает сторону $EF$ в точке $Q$. Требуется найти длины отрезков $MP$ и $NQ$, зная, что $DF = 15$ см.

Нахождение длины отрезка NQ

Рассмотрим треугольники $\triangle ENQ$ и $\triangle EDF$.

Так как по условию прямая $NQ$ параллельна прямой $DF$, то $\triangle ENQ$ подобен $\triangle EDF$ по двум углам: $\angle E$ является общим для обоих треугольников, а $\angle ENQ$ равен $\angle EDF$ как соответственные углы при параллельных прямых $NQ$ и $DF$ и секущей $DE$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k_1$:

$k_1 = \frac{EN}{ED} = \frac{NQ}{DF}$

По условию, сторона $DE$ разделена на три равных отрезка $DM, MN, NE$. Примем длину одного такого отрезка за $x$. Тогда $EN = x$, а вся сторона $ED = DM + MN + NE = x + x + x = 3x$.

Найдем коэффициент подобия:

$k_1 = \frac{EN}{ED} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$

Теперь, зная коэффициент подобия и длину стороны $DF$, найдем длину отрезка $NQ$:

$\frac{NQ}{DF} = \frac{1}{3} \implies NQ = \frac{1}{3} \cdot DF = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5$ см.

Нахождение длины отрезка MP

Аналогично рассмотрим треугольники $\triangle EMP$ и $\triangle EDF$.

Так как по условию прямая $MP$ параллельна прямой $DF$, то $\triangle EMP$ подобен $\triangle EDF$ по двум углам: $\angle E$ — общий, $\angle EMP = \angle EDF$ как соответственные углы при параллельных прямых $MP$ и $DF$ и секущей $DE$.

Коэффициент подобия этих треугольников $k_2$ равен:

$k_2 = \frac{EM}{ED} = \frac{MP}{DF}$

Длина отрезка $EM$ состоит из двух частей: $EM = MN + NE = x + x = 2x$. Длина всей стороны $ED = 3x$.

Найдем коэффициент подобия:

$k_2 = \frac{EM}{ED} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем длину отрезка $MP$:

$\frac{MP}{DF} = \frac{2}{3} \implies MP = \frac{2}{3} \cdot DF = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ см.

Ответ: длины искомых отрезков равны 5 см и 10 см.

Условие 2015-2022.

393. Сторона DE треугольника DEF разделена на три равных отрезка, и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне DF. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику DEF, если $DF = 15 \text{ см.}$

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).