Номер 400, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 11. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках. Глава 2. Подобие треугольников - номер 400, страница 84.

Условие 2023.

400. Точки $M$ и $K$ – середины сторон $AB$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых $BK$ и $DM$ принадлежит диагонали $AC$.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами медиан треугольника.

Доказательство

1. Рассмотрим треугольник $ABD$, образованный двумя сторонами параллелограмма и диагональю.
2. По условию, точка $M$ является серединой стороны $AB$. Следовательно, отрезок $DM$ — это медиана треугольника $ABD$, проведенная из вершины $D$.
3. Аналогично, точка $K$ является серединой стороны $AD$. Следовательно, отрезок $BK$ — это медиана треугольника $ABD$, проведенная из вершины $B$.
4. Пусть $P$ — точка пересечения прямых $BK$ и $DM$. Так как $BK$ и $DM$ — медианы одного треугольника, точка $P$ является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника $ABD$.
5. Проведем диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$ и обозначим точку их пересечения как $O$. По свойству параллелограмма, диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, точка $O$ является серединой диагонали $BD$.
6. Рассмотрим отрезок $AO$ в треугольнике $ABD$. Этот отрезок соединяет вершину $A$ с серединой противолежащей стороны $BD$. Таким образом, $AO$ — это третья медиана треугольника $ABD$.
7. Все три медианы треугольника ($DM$, $BK$ и $AO$) пересекаются в одной точке — его центроиде. Следовательно, точка $P$ (точка пересечения $BK$ и $DM$) должна лежать на третьей медиане $AO$.
8. Поскольку точка $P$ лежит на отрезке $AO$, а сам отрезок $AO$ является частью диагонали $AC$, то точка $P$ принадлежит диагонали $AC$.

Ответ: Утверждение о том, что точка пересечения прямых $BK$ и $DM$ принадлежит диагонали $AC$, доказано.

Условие 2015-2022.

400. Точки $M$ и $K$ – середины сторон $AB$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых $BK$ и $DM$ принадлежит диагонали $AC$.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).