Номер 2, страница 89 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 2, страница 89.

Условие 2023.

2. Как найти коэффициент подобия двух подобных треугольников?

Решение 6 (2023).

Коэффициент подобия (обозначается как $k$) — это число, показывающее, во сколько раз соответственные стороны одного подобного треугольника больше соответственных сторон другого. Если треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$), то их коэффициент подобия можно найти несколькими способами в зависимости от известных данных.

По соотношению длин соответственных сторон

Это основной и наиболее часто используемый способ. Коэффициент подобия равен отношению длин любых двух соответственных сторон. Соответственными называются стороны, лежащие напротив равных углов в подобных треугольниках.

Пусть стороны треугольника $ABC$ равны $a, b, c$, а соответственные им стороны подобного треугольника $A_1B_1C_1$ равны $a_1, b_1, c_1$. Тогда коэффициент подобия $k$ вычисляется по формуле:

$k = \frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c}$

Например, если известно, что сторона $AB = 5$ см, а соответственная ей сторона $A_1B_1 = 15$ см, то коэффициент подобия $k = \frac{15}{5} = 3$.

Ответ: $k = \frac{a_1}{a}$, где $a_1$ и $a$ — длины соответственных сторон.

По соотношению периметров

Отношение периметров двух подобных треугольников равно их коэффициенту подобия.

Пусть $P$ и $P_1$ — периметры подобных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Тогда:

$k = \frac{P_1}{P}$

Это свойство напрямую следует из определения: $P_1 = a_1+b_1+c_1 = k \cdot a + k \cdot b + k \cdot c = k(a+b+c) = k \cdot P$.

Ответ: $k = \frac{P_1}{P}$, где $P_1$ и $P$ — периметры подобных треугольников.

По соотношению площадей

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.

Пусть $S$ и $S_1$ — площади подобных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Их отношение равно:

$\frac{S_1}{S} = k^2$

Следовательно, зная площади, можно найти коэффициент подобия, извлекая квадратный корень из их отношения:

$k = \sqrt{\frac{S_1}{S}}$

Например, если площади треугольников равны 10 см² и 90 см², то $k = \sqrt{\frac{90}{10}} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $k = \sqrt{\frac{S_1}{S}}$, где $S_1$ и $S$ — площади подобных треугольников.

По соотношению других соответственных элементов

Коэффициент подобия также равен отношению длин любых других соответственных линейных элементов треугольников. К таким элементам относятся высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанных и описанных окружностей.

Пусть $h$ и $h_1$ — соответственные высоты, $m$ и $m_1$ — соответственные медианы, $l$ и $l_1$ — соответственные биссектрисы, $r$ и $r_1$ — радиусы вписанных окружностей, $R$ и $R_1$ — радиусы описанных окружностей. Тогда:

$k = \frac{h_1}{h} = \frac{m_1}{m} = \frac{l_1}{l} = \frac{r_1}{r} = \frac{R_1}{R}$

Таким образом, для нахождения коэффициента подобия достаточно знать длины одного вида соответственных элементов (например, двух соответственных высот).

Ответ: Коэффициент подобия равен отношению длин любых соответственных линейных элементов (например, высот: $k = \frac{h_1}{h}$).

Условие 2015-2022.

2. Как найти коэффициент подобия двух подобных треугольников?