Номер 424, страница 89 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 424, страница 89.

Условие 2023.

424. Подобны ли треугольники $ABC$ и $MNK$, если $ \angle A = 40^\circ $, $ \angle B = 82^\circ $, $ \angle M = 40^\circ $, $ \angle K = 58^\circ $, $ AB = 2,4 $ см, $ BC = 2,1 $ см, $ AC = 3,9 $ см, $ MN = 3,2 $ см, $ NK = 2,8 $ см, $ MK = 5,2 $ см?

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

Чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $MNK$, необходимо проверить, выполняются ли признаки подобия треугольников. Мы можем сделать это, сравнив их углы, а затем, для подтверждения, проверить пропорциональность сторон.

1. Сравнение углов.

Найдем все углы в каждом треугольнике, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180°$.

Для треугольника $ABC$ даны углы $∠A = 40°$ и $∠B = 82°$.
Третий угол $∠C$ равен:
$∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (40° + 82°) = 180° - 122° = 58°$.
Таким образом, углы $ΔABC$ равны $40°, 82°, 58°$.

Для треугольника $MNK$ даны углы $∠M = 40°$ и $∠K = 58°$.
Третий угол $∠N$ равен:
$∠N = 180° - (∠M + ∠K) = 180° - (40° + 58°) = 180° - 98° = 82°$.
Таким образом, углы $ΔMNK$ равны $40°, 82°, 58°$.

Сравнивая углы обоих треугольников, мы видим, что они соответственно равны:
$∠A = ∠M = 40°$
$∠B = ∠N = 82°$
$∠C = ∠K = 58°$
Поскольку углы одного треугольника равны углам другого, треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум или трем углам).

2. Проверка пропорциональности сторон.

У подобных треугольников отношение длин соответствующих сторон должно быть постоянным. Соответствующие стороны лежат напротив равных углов.

На основе равенства углов ($A \leftrightarrow M$, $B \leftrightarrow N$, $C \leftrightarrow K$) установим соответствие сторон:
- Сторона $BC$ (напротив $∠A$) соответствует стороне $NK$ (напротив $∠M$).
- Сторона $AC$ (напротив $∠B$) соответствует стороне $MK$ (напротив $∠N$).
- Сторона $AB$ (напротив $∠C$) соответствует стороне $MN$ (напротив $∠K$).

Проверим отношения длин этих сторон:
$\frac{BC}{NK} = \frac{2,1}{2,8} = \frac{21}{28} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{3}{4}$
$\frac{AC}{MK} = \frac{3,9}{5,2} = \frac{39}{52} = \frac{3 \cdot 13}{4 \cdot 13} = \frac{3}{4}$
$\frac{AB}{MN} = \frac{2,4}{3,2} = \frac{24}{32} = \frac{3 \cdot 8}{4 \cdot 8} = \frac{3}{4}$

Все отношения равны $\frac{3}{4}$, что подтверждает подобие треугольников и по третьему признаку. Таким образом, треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны.

Ответ: Да, треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны.

Условие 2015-2022.

424. Подобны ли треугольники $ABC$ и $MNK$, если $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 82^\circ$, $\angle M = 40^\circ$, $\angle K = 58^\circ$, $AB = 2,4$ см, $BC = 2,1$ см, $AC = 3,9$ см, $MN = 3,2$ см, $NK = 2,8$ см, $MK = 5,2$ см?

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).