Номер 430, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Подобные треугольники. Глава 2. Подобие треугольников - номер 430, страница 90.

Условие 2023.

430. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $BC$ – в точке $E$.

1) Найдите отрезок $BD$, если $AB = 16$ см, $AC = 20$ см, $DE = 15$ см.

2) Найдите отрезок $AD$, если $AB = 28$ см, $BC = 63$ см, $BE = 27$ см.

Решение 1 (2023).

Решение 2 (2023).

Решение 3 (2023).

Решение 4 (2023).

Решение 6 (2023).

По условию задачи, прямая, проходящая через точки D и E, параллельна стороне AC треугольника ABC. Когда прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает две другие стороны, она отсекает от него треугольник, подобный данному.

Следовательно, треугольник DBE подобен треугольнику ABC ($ΔDBE \sim ΔABC$).

Подобие треугольников означает, что их соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны:

$$ \frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC} $$

Используя это свойство, решим обе части задачи.

1) Найдите отрезок BD, если AB = 16 см, AC = 20 см, DE = 15 см.

Для решения воспользуемся пропорцией, связывающей известные стороны:

$$ \frac{BD}{AB} = \frac{DE}{AC} $$

Подставим данные значения в формулу:

$$ \frac{BD}{16} = \frac{15}{20} $$

Теперь выразим и вычислим BD:

$$ BD = 16 \cdot \frac{15}{20} $$

Сократим дробь $\frac{15}{20}$ на 5, получим $\frac{3}{4}$:

$$ BD = 16 \cdot \frac{3}{4} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ (см)} $$

Ответ: 12 см.

2) Найдите отрезок AD, если AB = 28 см, BC = 63 см, BE = 27 см.

Сначала найдем длину отрезка BD, используя другую пару в пропорции:

$$ \frac{BD}{AB} = \frac{BE}{BC} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{BD}{28} = \frac{27}{63} $$

Сократим дробь $\frac{27}{63}$ на 9, получим $\frac{3}{7}$:

$$ \frac{BD}{28} = \frac{3}{7} $$

Выразим и вычислим BD:

$$ BD = 28 \cdot \frac{3}{7} = 4 \cdot 3 = 12 \text{ (см)} $$

Отрезок AD является частью стороны AB. Так как точка D лежит на отрезке AB, то $AB = AD + DB$. Чтобы найти AD, нужно из длины всего отрезка AB вычесть длину найденного отрезка DB:

$$ AD = AB - DB = 28 - 12 = 16 \text{ (см)} $$

Ответ: 16 см.

Условие 2015-2022.

430. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает сторону $AB$ в точке $D$, а сторону $BC$ — в точке $E$.

1) Найдите $BD$, если $AB = 16$ см, $AC = 20$ см, $DE = 15$ см.

2) Найдите $AD$, если $AB = 28$ см, $BC = 63$ см, $BE = 27$ см.

Решение 1 (2015-2022).

Решение 2 (2015-2022).

Решение 4 (2015-2023).